Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RJLqE4VMGQm6e1

Ćwiczenie 1

Rozwiązaniem nierówności $\frac{x + 3}{x^{2} + 6 x + 9} \leq \frac{1}{x + 3}$ jest zbiór

$ℝ \ "{"- 3"}"$
$(- \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$
$ℝ$
$ℝ \ "{"3"}"$

RUq5DHZkIC2ZZ1

Ćwiczenie 2

Wskaż liczby należące do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej postaci $\frac{x^{2} - 5 x + 9}{x^{2} - 6 x + 5} < 1$

$- 10$
$- 4$
$0$
$2$

R2W1BsXfkuVKO1

Ćwiczenie 3

Każdej nierówności przyporządkuj jej zbiór rozwiązań.

Zbiór pusty
Zbiór liczb rzeczywistych

RA6rqf2bEJUiQ2

Ćwiczenie 4

Zbiorem rozwiązań nierówności wymiernej

$\frac{x^{2} - 9}{x - 1} \leq \frac{- 5}{x - 1}$	jest	$x \in (- \infty; - 2⟩ \cup (1; 2⟩$
$\frac{x^{2} - 2}{x^{2} - 1} \leq \frac{x}{x - 1}$	jest	$x \in ⟨- 2; 1) \cup ⟨2; + \infty)$
$\frac{x}{x - 1} \geq \frac{x^{2} - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$	jest	$x \in (- \infty; 1) \cup (1; 2⟩$
$\frac{x^{2} - 4}{x - 1} \geq 0$	jest	$x \in ⟨- 2; - 1) \cup (1; + \infty)$

RT3j4jNEOGIuH2

Ćwiczenie 5

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $\frac{- (- x^{2} + 15625) (x + 125) {(x - 144)}^{2} (x - 125)}{(x^{2} - 24 x + 144) {(x + 125)}^{2} (x - 144)} \leq 0$

W poniższe pole wpisz kolejno-od lewej do prawej- cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.
............

Ćwiczenie 6

Rozwiąż nierówność: $\frac{x - 15}{x + 5} \leq 0$ .

Rozwiązujemy nierówność:

Podajemy założenia: $x \neq - 5$ , czyli $D = ℝ ∖ \{- 5\}$ .

Zapisujemy nierówność w postaci równoważnej nierówności iloczynowej, korzystając z równoważności:

$\frac{a}{b} \leq 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a b \leq 0$ i $b \neq 0$ ,

otrzymujemy

$(x - 15) (x + 5) \leq 0$ .

Wielomian $W (x) = (x - 15) (x + 5)$ ma dwa pierwiastki jednokrotne: $(- 5)$ oraz $15$ .

Uwzględniając dziedzinę nierówności wymiernej $D = ℝ ∖ \{- 5\}$ szkicujemy wykres.

ReALU2l302PrG

Ilustracja przedstawia poziomą oś z narysowanym wykresem funkcji. Mającym wartości niedodatnie w przedziale lewostronnie otwartym prawostronnie domkniętym od minus 5 do piętnastu.

Rozwiązaniem nierówności jest przedział $(- 5; 15⟩$ .

Ćwiczenie 7

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności $\frac{x + 1}{2 x - 4} > \frac{3}{2 x - 4} - \frac{1}{4}$ .

$D = ℝ ∖ \{2\}$ .

Nierówność wymierną przedstawimy w postaci:

$\frac{x + 1 - 3}{2 x - 4} > - \frac{1}{4}$ ,

$\frac{x - 2}{2 x - 4} > - \frac{1}{4}$ ,

$\frac{x - 2}{2 (x - 2)} > - \frac{1}{4}$ ,

$\frac{1}{2} > - \frac{1}{4}$ .

Powyższa nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych należących do dziedziny nierówności wymiernej.

Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór $ℝ ∖ \{2\}$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności $\frac{x + 3}{x^{2} + 6 x + 9} \geq \frac{2}{x + 5}$ .

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ .

Założenie $x \neq - 5$ , $x \neq - 3$ .

$D = ℝ ∖ \{- 5; - 3\}$ .

Nierówność wymierną przedstawimy w postaci

$\frac{x + 3}{{(x + 3)}^{2}} \geq \frac{2}{x + 5}$ ,

$\frac{1}{x + 3} \geq \frac{2}{x + 5}$ ,

$\frac{1}{x + 3} \geq \frac{2}{x + 5} | \cdot {(x + 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ , gdzie ${(x + 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} > 0$

$(x + 3) {(x + 5)}^{2} \geq 2 {(x + 3)}^{2} (x + 5)$ ,

$(x + 3) {(x + 5)}^{2} - 2 {(x + 3)}^{2} (x + 5) \geq 0$ ,

$(x + 3) (x + 5) [x + 5 - 2 (x + 3)] \geq 0$ ,

$(x + 3) (x + 5) (x + 5 - 2 x - 6) \geq 0$ ,

$(x + 3) (x + 5) (- x - 1) \geq 0$ ,

$- (x + 3) (x + 5) (x + 1) \geq 0$ .

Wielomian $R (x) = - (x + 3) (x + 5) (x + 1)$ ma trzy pierwiastki jednokrotne: $(- 5)$ , $(- 3)$ oraz $(- 1)$ .

Uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{- 5; - 3\}$ szkicujemy wykres.

RL875R7T1TYXq

Ilustracja przedstawia poziomą oś z narysowanym wykresem funkcji. Mającym wartości dodatnie w przedziałach lewostronnie otwartym prawostronnie otwartym od minus nieskończoności do minus pięciu oraz wartości nieujemne w przedziale lewostronnie otwartym prawostronnie domkniętym od minus 3 do minus jeden.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $(- \infty; - 5) \cup (- 3; - 1⟩$ .

Animacja

Dla nauczyciela