Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Wyznacz pochodne następujących funkcji:

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ ,
$g\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$ ,
$h\left(x\right)=\sqrt{x^3}$ .

Wzory opisujące funkcje $f$ , $g$ , $h$ zapisz w postaci potęgi i zastosuj wzór na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym $\left(x^\alpha\right)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ .

Funkcję $f$ zapisujemy jako $f\left(x\right)=x^\frac{1}{3}$ . Stosując wzór na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym $\left(x^\alpha\right)'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ dla $\alpha=\frac13$ dostaniemy $f'\left(x\right)=\left(x^\frac{1}{3}\right)'=\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ .

Podobnie zapisujemy funkcje $g$ oraz $h$ w postaci $g\left(x\right)=x^{-2}$ , $h\left(x\right)=x^\frac32$ , a następnie wykorzystujemy wzór na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym, otrzymując $g'\left(x\right)=\left(x^{-2}\right)'=-2\cdot x^{-2-1}=-2\cdot x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$ oraz $h'\left(x\right)=\left(x^{\frac{3}{2}}\right)'=\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt{x}}{2}$ .

RMVVNXUYx9GQ21

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Pochodna funkcji $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ jest równa:

$f' (x) = - \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}}}$
$f' (x) = \frac{1}{2 x}$
$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

RjKISVvB1jWhs1

Ćwiczenie 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. Pochodna funkcji $f (x) = \sqrt{x^{5}}$ jest równa:

$f' (x) = \frac{2}{5 \sqrt[5]{x^{3}}}$
$f' (x) = \frac{5 \sqrt{x^{3}}}{2}$
$f' (x) = \sqrt{5 x^{4}}$
$f' (x) = \frac{1}{5 \sqrt{x^{5}}}$

R1Q3eJrm1NIP92

Ćwiczenie 4

Połącz w pary poniższe funkcje i odpowiadające im pochodne.

f (x) = \frac{1}{x^{4}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = \frac{5}{6 \sqrt[6]{x}}

, 2.

f' (x) = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}

, 3.

f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}

, 4.

f' (x) = - \frac{5}{2 \sqrt{x^{3}}}

, 5.

f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}

f (x) = \sqrt[4]{x}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = \frac{5}{6 \sqrt[6]{x}}

, 2.

f' (x) = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}

, 3.

f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}

, 4.

f' (x) = - \frac{5}{2 \sqrt{x^{3}}}

, 5.

f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{5}}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = \frac{5}{6 \sqrt[6]{x}}

, 2.

f' (x) = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}

, 3.

f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}

, 4.

f' (x) = - \frac{5}{2 \sqrt{x^{3}}}

, 5.

f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}

f (x) = \sqrt[6]{x^{5}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = \frac{5}{6 \sqrt[6]{x}}

, 2.

f' (x) = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}

, 3.

f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}

, 4.

f' (x) = - \frac{5}{2 \sqrt{x^{3}}}

, 5.

f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = \frac{5}{6 \sqrt[6]{x}}

, 2.

f' (x) = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}

, 3.

f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}

, 4.

f' (x) = - \frac{5}{2 \sqrt{x^{3}}}

, 5.

f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}

Połącz w pary poniższe funkcje i odpowiadające im pochodne.

$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$
$f (x) = \sqrt[4]{x}$
$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{5}}}$
$f (x) = \sqrt[6]{x^{5}}$
$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

RPMaGLJtQS2GR2

Ćwiczenie 5

Uzupełnij tabelę.

$\frac{1}{x^{30}}$ , $\sqrt[6]{x}$ , $\frac{7 \sqrt{x^{5}}}{2}$ , $- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}}}$ , $\frac{1}{30 x^{29}}$ , $- \frac{6}{x^{7}}$ , $\frac{1}{x^{7}}$ , $\sqrt{x}$

Funkcja $f (x)$	Pochodna $f' (x)$
$\frac{1}{x^{30}}$
$\sqrt[6]{x}$
	$\frac{7 \sqrt{x^{5}}}{2}$
	$- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}}}$

RBqBAUPfqwO2V2

Ćwiczenie 6

Zaznacz w tabeli poprawne komórki.

Funkcja $f (x)$	Pochodna $f' (x)$	Pochodna $f' (x)$
$\sqrt[4]{x^{3}}$	$\sqrt[4]{3 x^{2}}$ □	$\frac{3}{4 \sqrt[4]{x}}$ □
$\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$	$- \frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{6}}}$ □	$5 \sqrt[5]{x^{4}}$ □
$\frac{1}{\sqrt{x^{6}}}$	$- \frac{3}{x^{4}}$ □	$\frac{1}{\sqrt{6 x^{5}}}$ □
$\sqrt[4]{x^{9}}$	$\frac{4}{9 \sqrt[9]{x^{5}}}$ □	$\frac{9 \sqrt[4]{x^{5}}}{4}$ □
$\frac{1}{x^{32}}$	$- \frac{32}{x^{33}}$ □	$\frac{1}{32 x^{31}}$ □

RG0067Zb0aFKk3

Ćwiczenie 7

Połącz w pary poniższe funkcje i odpowiadające im pochodne.

f (x) = \sqrt[5]{x^{2}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = - \frac{8}{x^{9}}

, 2.

f' (x) = \frac{5 \sqrt{x^{3}}}{2}

, 3.

f' (x) = \frac{2}{5 \sqrt[5]{x^{3}}}

, 4.

f' (x) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}

, 5.

f' (x) = - \frac{8}{3 \sqrt[3]{x^{1} 1}}

f (x) = \frac{1}{x^{8}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = - \frac{8}{x^{9}}

, 2.

f' (x) = \frac{5 \sqrt{x^{3}}}{2}

, 3.

f' (x) = \frac{2}{5 \sqrt[5]{x^{3}}}

, 4.

f' (x) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}

, 5.

f' (x) = - \frac{8}{3 \sqrt[3]{x^{1} 1}}

f (x) = \sqrt{x^{5}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = - \frac{8}{x^{9}}

, 2.

f' (x) = \frac{5 \sqrt{x^{3}}}{2}

, 3.

f' (x) = \frac{2}{5 \sqrt[5]{x^{3}}}

, 4.

f' (x) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}

, 5.

f' (x) = - \frac{8}{3 \sqrt[3]{x^{1} 1}}

f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = - \frac{8}{x^{9}}

, 2.

f' (x) = \frac{5 \sqrt{x^{3}}}{2}

, 3.

f' (x) = \frac{2}{5 \sqrt[5]{x^{3}}}

, 4.

f' (x) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}

, 5.

f' (x) = - \frac{8}{3 \sqrt[3]{x^{1} 1}}

f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{8}}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f' (x) = - \frac{8}{x^{9}}

, 2.

f' (x) = \frac{5 \sqrt{x^{3}}}{2}

, 3.

f' (x) = \frac{2}{5 \sqrt[5]{x^{3}}}

, 4.

f' (x) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}

, 5.

f' (x) = - \frac{8}{3 \sqrt[3]{x^{1} 1}}

Połącz w pary poniższe funkcje i odpowiadające im pochodne.

$f (x) = \sqrt[5]{x^{2}}$
$f (x) = \frac{1}{x^{8}}$
$f (x) = \sqrt{x^{5}}$
$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$
$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{8}}}$

RCJnt7reDqElS3

Ćwiczenie 8

Uzupełnij tekst.

$\frac{n \sqrt[m]{x^{n - m}}}{m}$ , $- \frac{n}{m \sqrt[m]{x^{n + m}}}$ , $n x^{n - 1}$ , $\frac{m \sqrt[m]{x^{n - m}}}{n}$ , $n x^{n}$ , $\frac{1}{n x^{n}}$ , $- \frac{n}{x^{n + 1}}$ , $- \frac{n}{m \sqrt[m]{x^{n - m}}}$

Wzór określający pochodną funkcji potęgowej o wykładniku naturalnym, całkowitym bądź wymiernym możemy zapisać następująco:

- gdy $α \in ℕ$ i $α = n$ , to $(x^{α})' = (x^{n})' =$ ................
- gdy $α \in ℤ$ , $α < 0$ i $α$ jest postaci $α = - n$ dla $n \in ℕ$ , to
$(x^{α})' = (\frac{1}{x^{n}})' =$ ................
- gdy $α \in ℚ$ , $α > 0$ i $α$ jest postaci $α = \frac{n}{m}$ dla $n, m \in ℕ$ , to
$(x^{α})' = (\sqrt[m]{x^{n}})' =$ ................
- gdy $α \in ℚ$ , $α < 0$ i $α$ jest postaci $α = - \frac{n}{m}$ dla $n, m \in ℕ$ , to
$(x^{α})' = (\frac{1}{\sqrt[m]{x^{n}}})' =$ ................

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela