Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RYBDXpJvrWWhp1

Ćwiczenie 1

R1Sysn5Pk3le41

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Rsybnht8XBQ7a

REvi8wo6OTYE2

Uzupełnij poniższy tekst dotyczący ciągu geometrycznego

(a_{n})

, wpisując odpowiednie liczby we wskazane miejsca. Wpisz odpowiednie liczby. a) Wzór ogólny ciągu to

a_{n} = - 2 \cdot 5^{n - 1}

.
Wyraz pierwszy ciągu to: Tu uzupełnij, natomiast iloraz ciągu to Tu uzupełnij. b) Pierwszy wyraz ciągu to

(- 3)

, a iloraz ciągu wynosi

3

.
Wzór ogólny ciągu to:

a_{n} =

Tu uzupełnij

\cdot 3^{n}

. c) Wzór ogólny ciągu to:

a_{n} = 4 \cdot {(\frac{3}{2})}^{n}

.
Iloraz ciągu wynosi

\frac{3}{2}

, natomiast pierwszy wyraz ciągu wynosi Tu uzupełnij. d) Pierwszy wyraz ciągu wynosi

3

, natomiast iloraz ciągu wynosi

1

.
Wzór ogólny ciągu wynosi

a_{n} =

Tu uzupełnij.

RBhqdJXOMHt8V2

Ćwiczenie 4

Określ, czy ciąg

(a_{n})

określony podanym wzorem ogólnym jest ciągiem geometrycznym. Przeciągnij wzór każdego z ciągów do odpowiedniego pola. Ciągi geometryczne Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 2^{n} \cdot 8^{n}

, 2.

a_{n} = 2 \cdot {(2 + n)}^{n - 1}

, 3.

a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n}

, 4.

a_{n} = \frac{{(- 5)}^{n + 1}}{2}

, 5.

a_{n} = 3^{n - 1} + 3

, 6.

a_{n} = 4^{\sqrt{n}}

, 7.

a_{n} = n^{3}

, 8.

a_{n} = - π

Ciągi, które nie są ciągami geometrycznymi Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 2^{n} \cdot 8^{n}

, 2.

a_{n} = 2 \cdot {(2 + n)}^{n - 1}

, 3.

a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n}

, 4.

a_{n} = \frac{{(- 5)}^{n + 1}}{2}

, 5.

a_{n} = 3^{n - 1} + 3

, 6.

a_{n} = 4^{\sqrt{n}}

, 7.

a_{n} = n^{3}

, 8.

a_{n} = - π

RYrG7LIPqhVrm2

Ćwiczenie 5

R1XdK0SnzjtCJ2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ , w którym wszystkie wyrazy są dodatnie suma pierwszych trzech wyrazów jest równa $26$ , a suma odwrotności tych wyrazów jest równa $\frac{13}{18}$ . Znajdź wzór ogólny tego ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu.

Na podstawie treści zadania zapisujemy układ równań.

$\{\begin{cases} a + a q + a q^{2} = 26 \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{a q} + \frac{1}{a q^{2}} = \frac{13}{18} \end{cases}$

W pierwszym równaniu wyłączamy $a$ przed nawias.

W drugim równaniu, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$\{\begin{cases} a (1 + q + q^{2}) = 26 \\ \frac{q^{2} + q + 1}{a q^{2}} = \frac{13}{18} \end{cases}$

Z pierwszego równania wyznaczamy $1 + q + q^{2}$ i podstawiamy do drugiego równania.

$\{\begin{cases} 1 + q + q^{2} = \frac{26}{a} \\ \frac{26}{a^{2} \cdot q^{2}} = \frac{13}{18} \end{cases}$

Stąd:

${(a q)}^{2} = 36 \Rightarrow a q = 6$ , bo wyrazy ciągu są dodatnie.

Czyli $q = \frac{6}{a}$ .

Wyznaczony iloraz wstawiamy do pierwszego równania układu i otrzymujemy równanie kwadratowe, które rozwiązujemy.

$a + a q + a q^{2} = 26$

$a + 6 + \frac{36}{a} = 26$

$a^{2} - 20 a + 36 = 0$

$∆ = 400 - 144 = 256$

$\sqrt{∆} = 16$

$a = 2 \Rightarrow q = 3$ lub $a = 18 \Rightarrow q = \frac{1}{3}$

Odpowiedź:

Są dwa ciągi spełniające warunki zadania, o wzorach ogólnych odpowiednio:

$a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ , $a_{n} = 18 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Ćwiczenie 8

Ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = 5^{n} + 5^{n + 1}$ . Oblicz, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od $36000$ .

Zapisujemy w prostszej postaci wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 5^{n} + 5^{n + 1} = 5^{n} (1 + 5)$

$a_{n} = 6 \cdot 5^{n}$

Zapisujemy nierówność wynikającą z treści zadania.

$6 \cdot 5^{n} < 36000 | : 6$

$5^{n} < 6000$

Logarytmujemy obie strony nierówności przy podstawie $5$ – znak nierówności nie zmienia się, bo podstawa większa od $1$ .

$n \cdot \log_{5} 5 < \log_{5} 6000$

Z tablic logarytmicznych odczytujemy przybliżoną wartość logarytmu z $6000$ .

$n < 5, 41$

Zatem największy wyraz mniejszy od $6000$ to $a_{5}$ .

Odpowiedź:

Tylko pięć wyrazów ciągu jest mniejszych od $36000$ .

Animacja

Dla nauczyciela