Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RYBDXpJvrWWhp1

Ćwiczenie 1

R1Sysn5Pk3le41

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Rsybnht8XBQ7a

REvi8wo6OTYE2

RBhqdJXOMHt8V2

Ćwiczenie 4

Określ, czy ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu określony podanym wzorem ogólnym jest ciągiem geometrycznym. Przeciągnij wzór każdego z ciągów do odpowiedniego pola. Ciągi geometryczne Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, razy, osiem indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, razy, nawias, dwa, plus, n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, nawias, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, plus, jeden, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 6. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery indeks górny, pierwiastek kwadratowy z n, koniec indeksu górnego, 7. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 8. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, PI Ciągi, które nie są ciągami geometrycznymi Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, razy, osiem indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, razy, nawias, dwa, plus, n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, nawias, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, plus, jeden, koniec indeksu górnego, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, plus, trzy, 6. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery indeks górny, pierwiastek kwadratowy z n, koniec indeksu górnego, 7. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 8. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, PI

RYrG7LIPqhVrm2

Ćwiczenie 5

R1XdK0SnzjtCJ2

Ćwiczenie 6

Ciąg nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest ciągiem geometrycznym. Połącz w pary wyrazy tego ciągu. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, 2. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, 2. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, 2. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, jeden, 2. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, 3. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, 4. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa

Ćwiczenie 7

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ , w którym wszystkie wyrazy są dodatnie suma pierwszych trzech wyrazów jest równa $26$ , a suma odwrotności tych wyrazów jest równa $\frac{13}{18}$ . Znajdź wzór ogólny tego ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu.

Na podstawie treści zadania zapisujemy układ równań.

$\{\begin{cases} a + a q + a q^{2} = 26 \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{a q} + \frac{1}{a q^{2}} = \frac{13}{18} \end{cases}$

W pierwszym równaniu wyłączamy $a$ przed nawias.

W drugim równaniu, sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$\{\begin{cases} a (1 + q + q^{2}) = 26 \\ \frac{q^{2} + q + 1}{a q^{2}} = \frac{13}{18} \end{cases}$

Z pierwszego równania wyznaczamy $1 + q + q^{2}$ i podstawiamy do drugiego równania.

$\{\begin{cases} 1 + q + q^{2} = \frac{26}{a} \\ \frac{26}{a^{2} \cdot q^{2}} = \frac{13}{18} \end{cases}$

Stąd:

${(a q)}^{2} = 36 \Rightarrow a q = 6$ , bo wyrazy ciągu są dodatnie.

Czyli $q = \frac{6}{a}$ .

Wyznaczony iloraz wstawiamy do pierwszego równania układu i otrzymujemy równanie kwadratowe, które rozwiązujemy.

$a + a q + a q^{2} = 26$

$a + 6 + \frac{36}{a} = 26$

$a^{2} - 20 a + 36 = 0$

$∆ = 400 - 144 = 256$

$\sqrt{∆} = 16$

$a = 2 \Rightarrow q = 3$ lub $a = 18 \Rightarrow q = \frac{1}{3}$

Odpowiedź:

Są dwa ciągi spełniające warunki zadania, o wzorach ogólnych odpowiednio:

$a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ , $a_{n} = 18 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Ćwiczenie 8

Ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = 5^{n} + 5^{n + 1}$ . Oblicz, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od $36000$ .

Zapisujemy w prostszej postaci wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 5^{n} + 5^{n + 1} = 5^{n} (1 + 5)$

$a_{n} = 6 \cdot 5^{n}$

Zapisujemy nierówność wynikającą z treści zadania.

$6 \cdot 5^{n} < 36000 | : 6$

$5^{n} < 6000$

Logarytmujemy obie strony nierówności przy podstawie $5$ – znak nierówności nie zmienia się, bo podstawa większa od $1$ .

$n \cdot \log_{5} 5 < \log_{5} 6000$

Z tablic logarytmicznych odczytujemy przybliżoną wartość logarytmu z $6000$ .

$n < 5, 41$

Zatem największy wyraz mniejszy od $6000$ to $a_{5}$ .

Odpowiedź:

Tylko pięć wyrazów ciągu jest mniejszych od $36000$ .

Animacja

Dla nauczyciela