Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1Tbg6lfRv1SV1

Ćwiczenie 1

Uzupełnij tabelę tak, by punkt $A'$ był obrazem punktu $A$ względem danej prostej.

$A = (8, - 3)$ , $A = (8, - 3)$ , $A' = (8, - 3)$ , $A' = (8, 0)$ , $y = - 4$ , $y = 1$ , $y = 0$ , $y = 1$ , $A = (8, 5)$ , $A' = (8, 3)$

Punkt	Obraz punktu	Prosta
	$A' = (8, - 3)$	$y = - 4$
$A = (8, - 3)$		$y = 1$
$A = (8, - 3)$		$y = 0$
	$A' = (8, 0)$	$y = 1$

Rfj6je9f1f4qy1

Ćwiczenie 2

Połącz w pary punkty symetryczne względem prostej

y = 3 \sqrt{2}

(0, 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, \frac{9}{2} \sqrt{2})

, 2.

(0, - 1)

, 3.

(0, 7 \sqrt{2} + 1)

, 4.

(0, 6 \sqrt{2})

, 5.

(0, 6 \sqrt{2} - 1)

(0, - \sqrt{2} - 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, \frac{9}{2} \sqrt{2})

, 2.

(0, - 1)

, 3.

(0, 7 \sqrt{2} + 1)

, 4.

(0, 6 \sqrt{2})

, 5.

(0, 6 \sqrt{2} - 1)

(0, 0)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, \frac{9}{2} \sqrt{2})

, 2.

(0, - 1)

, 3.

(0, 7 \sqrt{2} + 1)

, 4.

(0, 6 \sqrt{2})

, 5.

(0, 6 \sqrt{2} - 1)

(0, - 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, \frac{9}{2} \sqrt{2})

, 2.

(0, - 1)

, 3.

(0, 7 \sqrt{2} + 1)

, 4.

(0, 6 \sqrt{2})

, 5.

(0, 6 \sqrt{2} - 1)

(0, \frac{3}{2} \sqrt{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0, \frac{9}{2} \sqrt{2})

, 2.

(0, - 1)

, 3.

(0, 7 \sqrt{2} + 1)

, 4.

(0, 6 \sqrt{2})

, 5.

(0, 6 \sqrt{2} - 1)

Połącz w pary punkty symetryczne względem prostej $y = 3 \sqrt{2}$ .

$(0, 1)$
$(0, - \sqrt{2} - 1)$
$(0, 0)$
$(0, - 1)$
$(0, \frac{3}{2} \sqrt{2})$

R1RJuFZUnzRRs1

Ćwiczenie 3

Uzupełnij tabelę by punkty $A$ i $A'$ były symetryczne względem danej prostej

$(3, 5)$ , $(\sqrt{2}, - \sqrt{2})$ , $(3, - 21)$ , $(\sqrt{2}, - 3 \sqrt{2})$ , $y = \sqrt{2}$ , $y = - \sqrt{2}$ , $(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 1)$ , $(\sqrt{2}, \sqrt{2} - 1)$ , $(\sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ , $y = 0$ , $y = 8$ , $y = 13$

Punkt $A$	Punkt $A'$	Prosta
$(3, 5)$	$(3, - 21)$
$(\sqrt{2}, - \sqrt{2})$		$y = \sqrt{2}$
	$(\sqrt{2}, - 3 \sqrt{2})$	$y = - \sqrt{2}$

R13VZvhtdeimD2

Ćwiczenie 4

Dwa okręgi $c$ i $c'$ są symetryczne względem pewnej prostej równoległej do osi $x$ . Na okręgu $c$ leży punkt $B = (3, 5)$ . Jego obrazem na okręgu $c'$ jest punkt $B' = (3, - 4)$ . Równaniem osi symetrii tych okręgów jest równanie:

$y = 1$
$y = \frac{1}{2}$
$y = \frac{3}{2}$
$y = 2$

RaLNCXCQJZ7mc2

Ćwiczenie 5

Zaznacz poprawną odpowiedź. Punktem symetrycznym względem osi $X$ do punktu $(- 267, 125)$ jest punkt:

$(125, - 267)$
$(267, 125)$
$(267, - 125)$
$(- 276, - 125)$

Ćwiczenie 6

Wyznacz obraz okręgu o środku $(2, - 3)$ i promieniu $1, 5$ względem prostej o równaniu $y = 3$ .

Napiszmy równanie tego okręgu w postaci kanonicznej

${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 2, 25$ ,

oraz ogólnej:

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 10, 75 = 0$ .

Ponieważ $h = 3$ , więc

$x^{2} + {(6 - y)}^{2} - 4 x + 6 (6 - y) + 10, 75 = 0$ ,

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 18 y + 82, 75 = 0$ ,

lub

${(x - 2)}^{2} + {(y - 9)}^{2} = 2, 25$ .

Ćwiczenie 7

Figura narysowana poniżej składa się z punktów o współrzędnych spełniających warunek zapisany pod rysunkiem.

RIVRclD1cpFJW

Ilustracja przedstawia poziomą oś x od minus 2 do 9 i pionową oś y od minus 5 do trzy. W płaszczyźnie układu zaznaczono dwa okręgi, które mają wspólny środek o współrzędnych nawias cztery średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Pierwszy z tych okręgów ma promień o długości dwa, drugi z tych okręgów ma promień o długości trzy. Obszar pomiędzy tymi okręgami został zacieniony.

${\begin{matrix} {(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} \geq 4 \\ {(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} \leq 9 \end{matrix}$

a) Jaki warunek spełniają punkty obrazu tej figury (pierścień kołowy) w symetrii osiowej względem osi $Y$ ?

b) Jaki warunek spełniają punkty obrazu tej figury (pierścień kołowy) w symetrii osiowej względem prostej równoległej do osi $X$ o równaniu $y = 3$ ?

a) Środek obu okręgów to punkt $(4, - 1)$ . Jego obrazem w symetrii względem osi $Y$ jest punkt $(- 4, - 1)$ . Promienie okręgów nie zmienią się. Mamy więc zbiór punktów spełniających układ nierówności:

${\begin{matrix} {(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} \geq 4 \\ {(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} \leq 9 \end{matrix}$ .

b) Środek obu okręgów to punkt $(4, - 1)$ . Jego obrazem w symetrii względem prostej o równaniu $y = 3$ jest punkt $(4, 7)$ . Promienie okręgów nie zmienią się. Mamy więc zbiór punktów spełniających układ nierówności:

${\begin{matrix} {(x - 4)}^{2} + {(y - 7)}^{2} \geq 4 \\ {(x - 4)}^{2} + {(y - 7)}^{2} \leq 9 \end{matrix}$ .

Ćwiczenie 8

Rozważmy trójkąt, którego wierzchołkami są punkty $(- 1, - 1)$ , $(3, - 1)$ oraz $(1, 2 \sqrt{3} - 1)$ . Znajdź pole figury, która jest częścią wspólną tego trójkąta i jego obrazu w symetrii względem prostej $y = \sqrt{3} - 1$

R1BI4VH1JTl9R

Ilustracja przedstawia poziomą oś x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 2 do cztery. W układzie zaznaczono poziomą oś o równaniu y=3-1. W układzie zaznaczono sześć punktów o następujących współrzędnych: nawias minus jeden średnik 23-1 zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik 23-1 zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik 23-1 zamknięcie nawiasu, nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Wszystkie punkty są ze sobą połączone, ukośne odcinki łączące punkty przecinają się na prostej y.

Na rysunku widzimy, że część wspólna obu trójkątów to romb, w którym kąt ostry ma miarę $60 °$ a bok ma długość $2$ . Jego pole to

$P = 4 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3}$

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela