Slajd pierwszy: Rozważmy okrąg O o środku w punkcie nawias a średnik b zamknięcie nawiasu i promieniu r. Niech $O\text{'}$ będzie symetryczny do O względem osi X/ Jak zmienia się wzajemne położenie okręgów w zależności od wyboru wielkości b i r. Jeśli b jest równe zero to okręgi O i $O\text{'}$ pokrywają się. Zatem na rysunku mamy poziomą oś x i pionową oś y. W układzie zaznaczono okrąg O, którego środek znajduje się na osi x i jego współrzędne to nawias a średnik b zamknięcie nawiasu. Promień okręgu podpisano literą r. Okrąg $O\text{'}$ pokrywa się z okręgiem O.

Slajd drugi przedstawia wzajemne położenie okręgów jeśli $0<b<r$. Jeśli b jest pomiędzy zerem a długością promienia to okręgi O i $O\text{'}$ przecinają się. Zatem na rysunku mamy poziomą oś x i pionową oś y. W układzie zaznaczono dwa okręgi, pierwszy to okrąg O, którego środek znajduje się w pierwszej ćwiartce układu i jego współrzędne to nawias a średnik b zamknięcie nawiasu. Promień okręgu podpisano literą r. Środek okręgu $O\text{'}$ znajduje się bezpośrednio pod środkiem okręgu O w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Okręgi przecinają się w dwóch punktach, oba te punkty leżą na osi x.

Slajd trzeci przedstawia przykład w którym wartość b jest równa r. Zatem jeśli b jest równe długości promienia, to okręgi O i $O\text{'}$ są styczne zewnętrznie. Na rysunku mamy poziomą oś x i pionową oś y. W układzie zaznaczono dwa okręgi, pierwszy to okrąg O, którego środek znajduje się w pierwszej ćwiartce układu i jego współrzędne to nawias a średnik b zamknięcie nawiasu. Promień okręgu podpisano literą r. Środek okręgu $O\text{'}$ znajduje się bezpośrednio pod środkiem okręgu O w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Okręgi stykają się ze sobą w miejscu w punkcie leżącym na osi x.

Slajd czwarty przedstawia przykład w którym wartość $b>r$. Zatem jeśli b jest jest większe niż długość promienia, to okręgi O i $O\text{'}$ są rozłączne zewnętrznie. Na rysunku mamy poziomą oś x i pionową oś y. W układzie zaznaczono dwa okręgi, pierwszy to okrąg O, którego środek znajduje się w pierwszej ćwiartce układu i jego współrzędne to nawias a średnik b zamknięcie nawiasu. Promień okręgu podpisano literą r. Środek okręgu $O\text{'}$ znajduje się bezpośrednio pod środkiem okręgu O w czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Okręgi nie mają punktów wspólnych.

Slajd piąty: policzymy pole części wspólnej $P_c$ okręgu O i $O\text{'}$ gdy a jest równe trzy, b jest równe 2 a r jest równe 4. Rysunek przedstawia poziomą oś x od minus 3 do 9 i pionową oś y od minus 6 do sześciu. W płaszczyźnie zaznaczono dwa okręgi. Pierwszy z nich okrąg O ma swój środek w punkcie nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, a jego promień ma długość cztery. Drugi okrąg $O\text{'}$ ma swój środek w punkcie nawias trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i jego promień również ma długość cztery. Okręgi przecinają się w dwóch punktach znajdujących się na osi x, przy czym obszar należący do obu okręgów zacieniowano. Środek okręgu O leży na krawędzi okręgu $O\text{'}$, a środek okręgu $O\text{'}$ leży na krawędzi okręgu O. Pole części wspólnej okręgu O i $O\text{'}$ to pole zacieniowanego obszaru.

Slajd szósty zawiera kontynuację obliczeń. Rysunek przedstawia poziomą oś x od minus 3 do 9 i pionową oś y od minus 6 do sześciu. W płaszczyźnie zaznaczono dwa okręgi. Pierwszy z nich okrąg O ma swój środek w punkcie nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, a jego promień ma długość cztery. Drugi okrąg $O\text{'}$ ma swój środek w punkcie nawias trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i jego promień również ma długość cztery. Okręgi przecinają się w dwóch punktach znajdujących się na osi x, przy czym obszar należący do obu okręgów zacieniowano. Środek okręgu O leży na krawędzi okręgu $O\text{'}$, a środek okręgu $O\text{'}$ leży na krawędzi okręgu O. Pole części wspólnej okręgu O i $O\text{'}$ to pole zacieniowanego obszaru. Punkty przecięcia się okręgów połączono ze środkiem okręgu O, każdy ten odcinek ma długość cztery. Z tego środka poprowadzono również pionowy odcinek do osi x, ma on długość dwa. Kąt pomiędzy odcinkiem o długości 4 i odcinkiem o długości dwa ma wartość 60 stopni. Nanosząc na rysunek odpowiednie długości boków możemy odczytać, że zaznaczony na rysunku kąt ma miarę 60 stopni. Spróbuj wykonać rysunek samodzielnie.

Slajd siódmy przedstawia obliczenia pola zacieniowanego wycinka koła. Jest ono następujące: $P_w=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \mathrm{\pi }\cdot 4^2=\frac{1}{3}\cdot \mathrm{\pi }\cdot 4^2=\frac{16}{3}\cdot \mathrm{\pi }$.

Slajd ósmy przedstawia inny wycinek koła o tym samym polu. Jest to wycinek, który jest odbiciem lustrzanym poprzedniego odcinka, zatem to ze środka okręgu $\mathrm{O}\text{'}$ poprowadzono odcinki do miejsc przecięcia się obu okręgów, kąt pomiędzy tymi odcinkami ma miarę 120 stopni.

Slajd dziewiąty zawiera obliczenia pola zaznaczonego rombu. Bokami rombu są odcinki łączące środki okręgów z punktami przecięcia się tych okręgów. Kąt rozwarty tego rombu ma miarę 120 stopni, bok tego rombu ma długość cztery. Pole tego rombu wynosi ${\mathrm{P}}_{\mathrm{r}}=4^2\sin \left({120}^{\circ }\right)=8\sqrt{3}$.

Slajd dziesiąty zawiera obliczenia pola części wspólnej okręgu O i $\mathrm{O}\text{'}$. Jest ono następujące: ${\mathrm{P}}_{\mathrm{c}}=2{\mathrm{P}}_{\mathrm{w}}-{\mathrm{P}}_{\mathrm{r}}=2\cdot \frac{16}{3}\mathrm{\pi }-8\sqrt{3}=\frac{32}{3}-8\sqrt{3}$.