Przeczytaj

Na początek przypomnimy pojęcie symetrii względem prostej.

Symetria osiowa

Definicja: Symetria osiowa

Symetrią osiową względem prostej $l$ nazywamy przekształcenie geometryczne, w którym każdemu punktowi $A$ , $A \notin l$ , przyporządkowujemy taki punkt $A'$ , dla którego prosta $A A'$ jest prostopadła do prostej $l$ i wektory $\vec{L A}$ oraz $\vec{L A'}$ są przeciwne, gdzie punkt $L$ jest punktem wspólnym prostej $A A'$ i prostej $l$ .

RI6ZJISUCohaM

Ilustracja przedstawia prostą l. Po jednej stronie prostej znajduje się punkt A, z kolei po drugiej stronie, symetrycznie do prostej l znajduje się punkt A'. Punkty połączone są strzałką o dwóch grotach, jest ona narysowana pod kątem prostym do prostej l. Punkt przecięcia się strzałki z prostą podpisano literą wielkie L.

Jeśli $A \in l$ , to obrazem tego punktu w symetrii osiowej względem prostej $l$ jest ten sam punkt. Symetrię osiową względem prostej $l$ oznaczamy $S_{l}$ .

Określimy zależności między współrzędnymi punktów symetrycznych względem prostejpunkty symetryczne względem prostejpunktów symetrycznych względem prostej o równaniu $y = 0$ (oś $X$ ):

R4Sh41HdKJIuU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu znajduje się punkt A, którego współrzędne to nawias x średnik y zamknięcie nawiasu, bezpośrednio pod tym punktem w czwartej ćwiartce znajduje się punkt A' o współrzędnych nawias x średnik minus y zamknięcie nawiasu. Punkty połączone są linią przerywaną.

Zauważmy, że:

odcięte punktów $A$ i $A'$ są równe,

rzędne punktów $A$ i $A'$ są liczbami przeciwnymi.

Zatem:

S_{x} : \{\begin{cases} x' = x \\ y' = - y \end{cases}

Narysujemy teraz okręgi symetryczne względem osi $X$ .

R1dJ6tmasI95h

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 3 i pionową osią y od minus 5 do pięć. W drugiej ćwiartce znajduje się okrąg podpisany literą c, którego środek A ma współrzędne nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Pod tym okręgiem, w trzeciej ćwiartce znajduje się okrąg d tego samego rozmiaru, którego środek podpisany literą B ma współrzędne nawias minus trzy średnik minus trzy.

Zauważmy, że środki tych okręgów są punktami symetrycznymi względem osi $X$ punkty symetryczne względem osi $X$ punktami symetrycznymi względem osi $X$ , zaś promienie są równe.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie obrazu okręgu o równaniu ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ w symetrii osiowej względem osi $X$ .

Rozwiązanie:

Obrazem punktu $A = (x, y)$ w symetrii osiowej względem osi $X$ jest punkt $A' = (x, - y)$ , więc zmieniając $y$ na $(- y)$ , otrzymujemy:

${(- y - 3)}^{2} = {(- (y + 3))}^{2} = {(y + 3)}^{2}$ .

Stąd równanie obrazu okręgu ma postać:

${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ .

Poniższy rysunek przedstawia dany okrąg oraz jego obraz w symetrii osiowej względem osi $X$ .

RFg1XBpuwv9Aa

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 9 i pionową osią y od minus 3 do pięć. W pierwszej ćwiartce znajduje się okrąg podpisany o równaniu x−32+y−32=4, którego środek A ma współrzędne nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Pod tym okręgiem, w czwartej ćwiartce znajduje się okrąg tego samego rozmiaru o równaniu x−32+y+32=4, którego środek podpisany literą B ma współrzędne nawias trzy średnik minus trzy.

Przykład 2

Napiszemy równanie okręgu, którego obrazem w symetrii względem osi $X$ jest okrąg o równaniu $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 2 = 0$ .

Rozwiązanie:

Zmieniając $y$ na $(- y)$ , otrzymujemy:

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ .

Przykład 3

Udowodnimy, że okrąg o średnicy $A B$ , gdzie $A = (- 3, 4)$ ; $B = (- 1, 0)$ , jest symetryczny do okręgu o średnicy $C D$ , gdzie $C = (- 4, - 1)$ ; $D = (0, - 3)$ , względem osi $X$ .

Rozwiązanie:

Wyznaczymy współrzędne środków tych okręgów i długości ich promieni.

Dla okręgu o średnicy $A B$ :

$S_{1} = (\frac{- 3 - 1}{2}, \frac{4 + 0}{2})$ , czyli $S_{1} = (- 2, 2)$ i $r_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{{(- 1 + 3)}^{2} + {(0 - 4)}^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{5}$ .

Dla okręgu o średnicy $C D$ :

$S_{2} = (\frac{- 4 + 0}{2}, \frac{- 1 - 3}{2})$ , czyli $S_{2} = (- 2, - 2)$ i $r_{2} = \frac{1}{2} \sqrt{{(0 + 4)}^{2} + {(- 3 + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{5}$ .

Ponieważ promienie tych okręgów mają równe długości: $r_{1} = r_{2} = \sqrt{5}$ , a środki $S_{1}$ i $S_{2}$ są punktami symetrycznymi względem osi $X$ , to okręgi są symetryczne względem osi $X$ .

Przykład 4

Wyznaczymy pole trójkąta $A B C$ , jeśli $A$ jest środkiem okręgu o równaniu $x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 5 = 0$ , $B$ jest środkiem okręgu $o'$ symetrycznego do danego okręgu względem osi $X$ , zaś $C$ jest punktem styczności okręgu $o'$ i prostej o równaniu $y = - 3 x + 9$ .

Rozwiązanie:

Wyznaczymy współrzędne punktu $A$ oraz długość promienia $r_{1}$ okręgu o równaniu $x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 5 = 0$ .

Skorzystamy z równania ogólnego okręgu: $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ (punkt $A = (a, b)$ jest jego środkiem, zaś promień $r$ ma długość: $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ ). Zatem:

$- 2 a = 2$ , stąd $a = - 1$ ,

$- 2 b = 4$ , stąd $b = - 2$ ,

$r_{1} = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2} - (- 5)} = \sqrt{1 + 4 + 5} = \sqrt{10}$ .

Ponieważ punkt $B$ jest środkiem okręgu symetrycznego do danego okręgu względem osi $X$ , to $B = (- 1, 2)$ i jego promień ma długość $r_{2} = \sqrt{10}$ . Równanie tego okręgu ma postać: $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 5 = 0$ .

Wyznaczymy teraz współrzędne punktu $C$ .

Rozwiążemy układ równań:

$\{\begin{cases} y = - 3 x + 9 \\ x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 5 = 0 \end{cases}$ .

Po podstawieniu za zmienną $y$ w drugim równaniu zależności z pierwszego równania, mamy:

$x^{2} + {(- 3 x + 9)}^{2} + 2 x - 4 (- 3 x + 9) - 5 = 0$

$x^{2} + 9 x^{2} - 54 x + 81 + 2 x + 12 x - 36 - 5 = 0$

$10 x^{2} - 40 x + 40 = 0$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x = 2$ .

Punkt $C$ ma współrzędne: $C = (2, 3)$ .

Pole trójkąta $A B C$ o wierzchołkach $A = (x_{A}, y_{A})$ ; $B = (x_{B}, y_{B})$ ; $C = (x_{C}, y_{C})$ wyraża się wzorem:

$P = \frac{1}{2} \cdot |(x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A})|$ .

Zatem:

$P = \frac{1}{2} \cdot |(- 1 - (- 1)) (3 - (- 2)) - (2 - (- 2)) (2 - (- 1))| =$

$= \frac{1}{2} \cdot |- 12| = 6$ .

Niech $r : y = h$ będzie prostą równoległą do osi $X$ , a $P' = (x', y')$ obrazem symetrycznym do punktu $P = (x, y)$ względem tej prostej.

R15PyXjdpWGdK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W płaszczyźnie zaznaczono poziomą prostą r, która przecina oś y na wysokości y=h. W pierwszej ćwiartce układu znajduje się punkt P, bezpośrednio pod tym punktem, po drugiej stronie prostej r w pierwszej ćwiartce znajduje się punkt P' . Punkty połączone są linią przerywaną, a punkt przecięcia się tej linii z prostą r podpisano P0. Pod osią x znajduje się zapis x=x'.

Widzimy, że $x' = x$ . Punkt $P_{0}$ , jako środek odcinka $P P'$ , ma odciętą $y_{0} = \frac{y + y'}{2}$ , gdzie $y_{0} = h$ , zatem:

\{\begin{cases} x' = x \\ y' = 2 h - y \end{cases}

Zauważmy, że jeżeli $h = 0$ , to z powyższych wzorów otrzymamy współrzędne punktu symetrycznego względem osi $X$ :

\{\begin{cases} x' = x \\ y' = - y \end{cases}

Przykład 5

Punkt $P'$ jest symetryczny do punktu $P$ o współrzędnych $(- \sqrt{7}, \sqrt{3})$ względem prostej o równaniu $y = 4$ . Wyznaczymy współrzędne punktu $P'$ oraz równania okręgów o środkach w punktach $P$ i $P'$ i promieniu, którego długość jest jedyną liczbą całkowitą dodatnią spełniającą nierówność: $x^{3} - 4 x < 0$ .

Rozwiązanie:

Wyznaczymy najpierw współrzędne punktu $P'$ .

Sposób I

Wykorzystamy wzory $S_{k} : \{\begin{cases} x' = x \\ y' = 2 h - y \end{cases}$ .

Mamy zatem:

$P' = (x, 2 h - y) = (- \sqrt{7}, 4 + 4 - \sqrt{3}) = (- \sqrt{7}, 8 - \sqrt{3})$ .

Sposób II

Wykonamy rysunek pomocniczy.

R1COswmvdzsoW

Ilustracja przedstawia poziomą oś x od minus 7 do 8 i pionową osią y od minus 1 do siedem. W układzie narysowano poziomą prostą o równaniu y=4. W drugiej ćwiartce układu zaznaczono punkt P o współrzędnych nawias minus 7, 3 zamknięcie nawiasu. Przez ten punkt narysowano poziomą linię przerywaną. Pomiędzy dwoma prostymi znajduje się pionowa strzałka z dwoma grotami, która jest podpisana 4-3. Bezpośrednio nad punktem P, po przeciwnej stronie prostej o równaniu y=4 zaznaczono punkt P'.

$P' = (x_{1}, y_{1})$ ,

$x_{1} = - \sqrt{7}$ ,

$y_{1} = 4 + (4 - \sqrt{3}) = 8 - \sqrt{3}$ ,

$P' = (- \sqrt{7}, 8 - \sqrt{3})$ .

Rozwiążemy teraz nierówność $x^{3} - 4 x < 0$ i wyznaczymy długości promieni okręgów.

Zauważmy, że $x^{3} - 4 x = x (x^{2} - 4) = x (x - 2) (x + 2)$ .

Nierówność przyjmuje więc postać: $x (x - 2) (x + 2) < 0$ .

Rv1nSyYTSpb7P

Ilustracja przedstawia pionową oś x, wzdłuż tej osi biegnie linia o kształcie przypominającym sinusoidę. Rozpoczyna się ona pod osią x, następnie przechodzi przez punkt o wartości x równej minus dwa, który jest niezamalowany i wychodzi ponad oś x, następnie w niezamalowanym punkcie o współrzędnej x równej zero przechodzi pod oś x, następnie w niezamalowanym punkcie o współrzędnej x równej dwa znów przechodzi nad oś x. Obszary, w których krzywa znajduje się pod osią x są zaznaczone dwoma minusami.

$x \in (- \infty, - 2) \cup (0, 2)$

Jedyną liczbą całkowitą dodatnią spełniającą nierówność jest $1$ , zatem $r = 1$ .

Równanie okręgu o środku $P$ i promieniu $r$ ma więc postać: ${(x + \sqrt{7})}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 1$ , zaś równanie okręgu o środku $P'$ i promieniu $r$ ma postać ${(x + \sqrt{7})}^{2} + {(y - 8 + \sqrt{3})}^{2} = 1$ .

Słownik

punkty symetryczne względem prostej

punkty, które leżą na prostej prostopadłej do tej prostej, po przeciwnych jej stronach i w równych od niej odległościach

punkty symetryczne względem osi

X

punkty symetryczne względem osi

X

punkty, których odcięte są równe, zaś rzędne są liczbami przeciwnymi

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Słownik