Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Ostrosłupy na rysunkach są prawidłowe. Wybierz właściwą ilustrację graficzną podanego kąta.

RqcpnNJZEIsvl

R1MvW8sKUOnWq

Opisz krótko poznane na tej lekcji kąty pomiędzy płaszczyznami i prostymi oraz płaszczyznami w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym.

R1ZpdNyZJRoIW

RLxPsrJlTiYZA1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Ostrosłup na rysunku poniżej jest prawidłowy.

R155Ca3gjZD31

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie ABCD i wierzchołku E. Z wierzchołka upuszczona jest wysokość ES. Na podstawie zaznaczono przekątną CA. Narysowano również odcinek EF, przy czym punkt F leży na krawędzi DA i dzieli ją na pół. Na ilustracji zaznaczono dwa kąty proste. Kąt, jaki wysokość tworzy z przekątną podstawy, czyli kąt ASE oraz kąt AFE.

R3qisxNhOxSpg

Ćwiczenie 4

Ostrosłupy na rysunkach są prawidłowe. Oblicz miary kątów wskazanych na rysunkach i nazwij je.

R120OCjGRLQ0u

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie ABCD i wierzchołku E. Na podstawie zaznaczono przekątną DB. Na ilustracji oznaczono trójkąt DBG, przy czym punkt G należy do krawędzi EC, która ma długość 4. Punkt ten położony jest w taki sposób, że kąty BGC oraz DGE są kątami prostymi. W trójkącie DBG zaznaczono dwa kąty: przy wierzchołku B kąt wynosi 36 stopni, a przy wierzchołku G kąt wynosi alfa. Krawędź BC ma długość 2.

R1ejjkOEqvhH7

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie ABCD i wierzchołku E. Na podstawie zaznaczono przekątną CA. Z wierzchołka E upuszczono wysokość ES. Oczywiście punkt S należy do przekątnej podstawy. Na ilustracji oznaczono kąt alfa, czyli kąt CAE. Oznaczono również dwa inne kąty. Pierwszy to kąt, jaki wysokość tworzy w przekątną podstawy. Jest to kąt prosty ESA. Kolejnym kątem jest kąt AEC wynoszący 46 stopni.

R1TCxYKR23YRu

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie ABCD i wierzchołku E. Z wierzchołka E upuszczono wysokość ES. Na krawędzi BC zaznaczono punkt F, który dzieli tę krawędź na pół, a odcinek EF opisano jako h. Na ilustracji zaznaczono trójkąt prostokątny SFE, gdzie przy wierzchołku S znajduje się kąt prosty, wierzchołek F oznaczono jako alfa, natomiast przy wierzchołku E znajduje się kąt o mierze 40 stopni.

$α = 108 °$ , kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi.

$α = 67 °$ , kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

$α = 50 °$ , kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy.

Ćwiczenie 5

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trzykrotnie dłuższa od jego krawędzi podstawy. Oblicz tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

RisegR0nlisLe

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie ABCD i wierzchołku E. Z wierzchołka E upuszczono wysokość ES, którą opisano jako 3a. Krawędź CD opisano jako a. Na ilustracji zaznaczono trójkąt prostokątny SAE, gdzie przy wierzchołku S znajduje się kąt prosty, wierzchołek A oznaczono jako beta.

$tg β = \frac{|E S|}{|S A|}$ , czyli $tg β = \frac{3 a}{\frac{α \sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 6

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wymiarach jak na rysunku. Nazwij kąt $∡ S E J$ . Oblicz jego miarę. Jakim trójkątem jest trójkąt $J E G$ ?

RuWlG1rAu3vjt

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie ABCD i wierzchołku E. Z wierzchołka E upuszczono wysokość ES, która ma długość 6. Krawędź EA ma długość 63. Na rysunku oznaczono jeszcze dwa punkty dzielące dwie krawędzie na pół. Pierwszy taki punkt to punkt G dzielący krawędź DA na pół. Drugi taki punkt to punkt J dzielący krawędź CB na pół. Punkt ten połączono z wierzchołkiem, tworząc odcinek JE.

$∡ S E J$ jest kątem nachylenia wysokości ostrosłupa do ściany bocznej.

RCFN3nL1XlQm4

Obliczamy długość połowy przekątnej podstawy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $E S A$

$6^{2} + {|S A|}^{2} = {(6 \sqrt{3})}^{2}$

Czyli ${|S A|}^{2} = 72$ , a stąd $|S A| = 6 \sqrt{2}$ .

Otrzymujemy więc długość przekątnej podstawy $12 \sqrt{2}$ i krawędzi podstawy $12$ .

Wykorzystamy funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym $J S E$

$tg (∡ S E J) = \frac{|J S|}{|S E|} = 1$ , a zatem $|∡ S E J| = 45 °$ .

Oznacza to, że trójkąt $J E G$ jest prostokątny.

Ćwiczenie 7

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwukrotnie większe od pola trójkąta będącego jego ścianą boczną. Jaką miarę ma kąt pomiędzy ścianą boczną a płaszczyzną podstawy?

Oznaczmy krawędź podstawy przez $a$ oraz wysokość ściany bocznej przez $h$ . Wtedy:

Pole kwadratu wynosi:

P_{□} = a^{2}

i pole trójkąta wynosi:

P_{△} = \frac{a \cdot h}{2}

Ponieważ pole ściany bocznej jest dwukrotnie mniejsze od pola podstawy, to

$\frac{a^{2}}{2} = \frac{a h}{2}$

Przekształcając wzór otrzymujemy $h = a$ .

Zróbmy ilustrację graficzną tego ostrosłupa.

RYDbYCFEAgj1F

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie ABCD i wierzchołku E. Z wierzchołka E upuszczono wysokość ES, której długość wynosi h równe a. Na krawędzi DA zaznaczono punkt F, który dzieli tę krawędź na pół. Krawędź podstawy jest długości a. Na ilustracji zaznaczono trójkąt prostokątny SFE, gdzie przy wierzchołku S znajduje się kąt prosty, wierzchołek F oznaczono jako alfa oraz odcinek SF będący podstawą tego trójkąta ma długość równą a2.

$α$ jest kątem, którego szukamy. Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, otrzymujemy $\cos α = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}$ .

Czyli $α = 60 °$ .

Ćwiczenie 8

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $4$ , a kąt nachylenia wysokości ostrosłupa do ściany bocznej ma miarę $15 °$ . Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

R4XzlBPZLMJoO

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie ABCD i wierzchołku E. Z wierzchołka E upuszczono wysokość ES. Krawędź CD ma długość 4. Na krawędzi DA zaznaczono punkt Fdzielący ją na pół. Z wierzchołka poprowadzono także odcinek EF. Na ilustracji zaznaczono dwa trójkąty prostokątne. Pierwszy z nich to trójkąt prostokątny SFE, w którym kąt przy wierzchołku E wynosi 15 stopni, a przy wierzchołku S znajduje się kąt prosty. Drugi trójkąt prostokątny to trójkąt SAE, gdzie wierzchołek A oznaczono jako beta.

Obliczamy długość wysokości ostrosłupa korzystając z funkcji trygonometrycznych

$tg 15 ° = \frac{2}{H}$ .

A zatem $0, 2679 = \frac{2}{H}$ , a stąd $H \approx 7, 47$ .

Ponownie korzystamy z funkcji tangens, tym razem do obliczenia kąta $β$ :

$tg β = \frac{7, 47}{2 \sqrt{2}} \approx 2, 6394$

Stąd $β \approx 69 °$ .

Aplet

Dla nauczyciela