Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunkach poniżej przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny. Oblicz długość odcinka $x$ i zaznacz prawidłową odpowiedź.

Rq42a39hNtwNe

RheGi3fDN0teF

R1WqsuD2TyEDp

R1328LFgI3c8P

RKvjGYlGRmgXq

R1ZO26AsaK6uV

R3CmQzzprbPUP1

Ćwiczenie 2

RpPwNmNL1vtm12

Ćwiczenie 3

1. przekątną, 2. ściany bocznej, 3. graniastosłupa czworokątnego, 4. sześcianu, 5. prostokąta, 6.

a \sqrt{3}

, 7. ścianie, 8. rombu, 9. wierzchołki, 10.

3 a

, 11. podstawie, 12. podstawy, 13. sześcianu, 14. kwadratu, 15.

a \sqrt{2}

, 16.

2 a

graniastosłupa prawidłowego czworokątnego nazywamy odcinek łączący dwa jego 1. przekątną, 2. ściany bocznej, 3. graniastosłupa czworokątnego, 4. sześcianu, 5. prostokąta, 6.

a \sqrt{3}

, 7. ścianie, 8. rombu, 9. wierzchołki, 10.

3 a

, 11. podstawie, 12. podstawy, 13. sześcianu, 14. kwadratu, 15.

a \sqrt{2}

, 16.

2 a

, który nie jest zawarty w żadnej [3] graniastosłupa. Długość przekątnej [4] graniastosłupa prawidłowego czworokątnego obliczamy korzystając ze wzoru na przekątną 1. przekątną, 2. ściany bocznej, 3. graniastosłupa czworokątnego, 4. sześcianu, 5. prostokąta, 6.

a \sqrt{3}

, 7. ścianie, 8. rombu, 9. wierzchołki, 10.

3 a

, 11. podstawie, 12. podstawy, 13. sześcianu, 14. kwadratu, 15.

a \sqrt{2}

, 16.

2 a

. Długość przekątnej 1. przekątną, 2. ściany bocznej, 3. graniastosłupa czworokątnego, 4. sześcianu, 5. prostokąta, 6.

a \sqrt{3}

, 7. ścianie, 8. rombu, 9. wierzchołki, 10.

3 a

, 11. podstawie, 12. podstawy, 13. sześcianu, 14. kwadratu, 15.

a \sqrt{2}

, 16.

2 a

o krawędzi a obliczamy ze wzoru 1. przekątną, 2. ściany bocznej, 3. graniastosłupa czworokątnego, 4. sześcianu, 5. prostokąta, 6.

a \sqrt{3}

, 7. ścianie, 8. rombu, 9. wierzchołki, 10.

3 a

, 11. podstawie, 12. podstawy, 13. sześcianu, 14. kwadratu, 15.

a \sqrt{2}

, 16.

2 a

R1MxCAqhDRtkj2

Ćwiczenie 4

RgKbEF64CBMmC2

Ćwiczenie 5

RKdKX2jVL1uUc2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Przekątne graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przecinają się pod kątem $60 °$ . Do budowy szkieletu tego graniastosłupa zużyto drut o długości $32$ . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Rozważmy graniastosłup prawidłowy czworokątny przedstawiony na rysunku.

RMqi3dUEgh7sI

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny, wierzchołki dolnej podstawy oznaczono A B C D, a wierzchołki górnej podstawy oznaczono A', B', C' oraz D'. Krawędzie podstawy mają długość a, krawędź boczna ma długość b. W graniastosłupie zaznaczono jego przekątne A C' oraz B D'. Kąt ostry pomiędzy przekątnymi podpisano literą alfa. Obok graniastosłupa znajduje się przekrój : A B C' D'. Kąt ostry pomiędzy przekątnymi podpisano literą ala. Kąt A D' B podpisano α2. Z punktu przecięcia się przekątnych na bok AB o długości a opuszczono wysokość. Kąt pomiędzy tą wysokością a przekątną B D' wynosi α2.

Przekątne $d$ graniastosłupa są jednocześnie przekątnymi prostokąta $A B C' D'$ . Niech $a$ oznacza krawędź podstawy rozważanego graniastosłupa oraz $b$ będzie jego wysokością. Mamy $\sin 30 ° = \frac{a}{d} = \frac{1}{2}$ , stąd $d = 2 a$ , oraz $b = a \sqrt{2}$ . Zatem suma długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa (szkielet) jest równa $8 a + 4 \sqrt{2} a = 32$ , zatem długość krawędzi podstawy jest równa $a = 4 (2 - \sqrt{2})$ .

Ćwiczenie 8

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy długości $12$ i krawędzi bocznej długości $16$ połączono środki krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka. Wyznacz wartości cosinusów kątów tego trójkąta.

Narysujmy ten graniastosłup.

R1aMGa3y2UAqc

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o wierzchołkach A B C D E F G H. Krawędź podstawy ma długość dwanaście. Na środku krawędzi EF znajduje się punkt P, na środku krawędź BF znajduje się punkt R, na środku krawędzi FG znajduje się punkt Q. Punkty te tworzę trójkąt, w którym kąty RPQ oraz RQP mają wartość alfa, a kąt PRQ ma wartość beta. Odcinek PQ podpisano literą x, z kolei odcinki PR i QR podpisano literą y. Odcinki FP i FQ mają długość 6, a odcinek FR ma długość osiem.

Oczywiście trójkąt $P Q R$ jest trójkątem równoramiennym. Obliczymy długości jego boków:

$x = 6 \sqrt{2}$

$y = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$

Zatem:

$10^{2} = 10^{2} + {(6 \sqrt{2})}^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 6 \sqrt{2} \cdot \cos α$

oraz

${(6 \sqrt{2})}^{2} = 10^{2} + 10^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos β$ .

Stąd: $\cos α = \frac{72}{120 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{10}$ i $\cos β = \frac{128}{200} = \frac{16}{25}$ .

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela