Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RWKGv4w1nOUTQ1

Ćwiczenie 1

Wskaż zdania prawdziwe.

Jeżeli trójkąt nie jest równoramienny, to środkowe pokrywają się z wysokościami
Jeżeli trójkąt nie jest równoramienny, to istnieje środkowa i wysokość, które pokrywają się
Jeżeli trójkąt jest równoramienny, ale nie jest równoboczny to środkowe pokrywają się z wysokościami
Jeżeli trójkąt jest równoramienny, ale nie jest równoboczny to istnieje środkowa i wysokość, które pokrywają się
Jeżeli trójkąt jest równoboczny to środkowe pokrywają się z wysokościami
Jeżeli trójkąt jest równoboczny to istnieje środkowa i wysokość, które pokrywają się

R1RtACpnx31KG1

Ćwiczenie 2

Punkt przecięcia środkowych trójkąta jest:

środkiem ciężkości tego trójkąta
ortocentrum tego trójkąta
środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt
środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie

R1blKXyyTVpMk1

Ćwiczenie 3

Środkowe trójkąta dzielą się w stosunku:

$2 : 1$
$1 : 1$
$3 : 3$
$3 : 2$

RhTioGyXB5wcd1

Ćwiczenie 4

Środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym jest równa:

promieniowi okręgu opisanego na tym trójkącie
promieniowi okręgu wpisanego w ten trójkąt
jednej z przyprostokątnych
jednej trzeciej przeciwprostokątnej

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiony jest trójkąt $A B C$ oraz jego środkowe $A F$ i $C E$ . Punkt $S$ jest punktem przecięcia środkowych, a punkty $D$ i $G$ leżą na odpowiednich środkowych.

Rb5ziWCC5wTB9

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Z wierzchołka A poprowadzono środkową do punktu F, leżącego na boku BC. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu E, leżącego na boku AB. Środkowe przecinają się w punkcie S. Z wierzchołka A, oraz B, poprowadzono proste do punktu G, leżącego na odcinku SE. Z punktu B poprowadzono prostą do punktu S. Z punktu C, oraz B, poprowadzono proste do punktu D, leżącego na odcinku SF.

RzkIeokJhOkQh

Dobierz w pary trójkąty o równych polach.

$△ A C E$
$△ A S E$
$△ A G E$
$△ B S F$
$△ C D F$

Ćwiczenie 6

Środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta ostrego równoramiennego trójkąta prostokątnego ma długość $5$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Niech $a$ oznacza przyprostokątną tego trójkąta. Na rysunku przedstawione są informacje z zadania oraz fakt, że środkowa dzieli bok na połowy.

RKHchZf5JC34o

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC, z kątem prostym przy wierzchołku C. Bok AC ma długość równą a. Z wierzchołka A poprowadzono środkową o długości pięć do punktu F, leżącego na boku BC.

Pole trójkąta $P = \frac{a^{2}}{2}$ . Wyznaczymy wartość $a^{2}$ z twierdzenia Pitagorasa tzn. $5^{2} = a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{5 a^{2}}{4}$ . Stąd $a^{2} = \frac{4 \cdot 25}{5} = 20$ .

Zatem $P = \frac{20}{2} = 10$ .

Ćwiczenie 7

Oblicz odległość środka ciężkości w trójkącie prostokątnym od wierzchołka kąta prostego, jeśli przyprostokątne mają długości $15$ i $20$ .

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość przeciwprostokątnej $c^{2} = 15^{2} + 20^{2} = 625$ , wiec $c = 25$ . Wtedy długość środkowej jest równa $\frac{25}{2} = 12, 5$ a odległość środka ciężkości od wierzchołka kąta prostego wynosi $\frac{2}{3} \cdot \frac{25}{2} = 8 \frac{1}{3}$ .

Ćwiczenie 8

Podstawa trójkąta równoramiennego i środkowe poprowadzone z jej końców mają długość $a$ . Wyznacz długość wysokości poprowadzonej do podstawy.

W trójkącie równoramiennym środkowa poprowadzona do podstawy pokrywa się z wysokością poprowadzoną do podstawy, więc punkt przecięcia środkowych dzieli tę wysokość w stosunku $2 : 1$ . Popatrzmy na rysunek, gdzie zapisane są długości odpowiednich odcinków.

R1HZaINhxQBpl

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny ABC. Zaznaczono środkowe boków AC, oraz BC, które przecinają się w punkcie S. Z wierzchołka C poprowadzono linią przerywaną, wysokość trójkąta, przechodzącą przez punkt S. Spodek wysokości leży w punkcie D. Odcinek SD jest równy h3, natomiast SB wynosi 2a3.

Z twierdzenia Pitagorasa ${(\frac{h}{3})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = {(\frac{2 a}{3})}^{2}$ , więc $\frac{h^{2}}{9} = \frac{4 a^{2}}{9} - \frac{a^{2}}{4}$ . Stąd $h = \frac{a \sqrt{7}}{2}$ .

Ćwiczenie 9

Na rysunku $|B M| = |A L|$ . Pokaż, że $C D$ jest środkową trójkąta $A B C$ .

RpsSfCg1VvwQK

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Na boku AB zaznaczono punkt D. Zaznaczono także punkt M, taki że prosta CM przechodząca przez punkt D, jest prostopadła do odcinka MB, zaznaczonego linią przerywaną. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek prostopadły do prostej CM, w punkcie L.

Ponieważ $A L$ i $B M$ są prostopadłe do odcinka $C M$ , to są równoległe do siebie. Z założenia, że $|B M| = |A L|$ i z uogólnienia twierdzenia Talesa wynika, że:

$|A D| : |D B| = |A L| : |B M| = 1$ . Stąd $|A D| = |D B|$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela