Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1Rf46OrbBnbz1

Ćwiczenie 1

RRyg8NYbFCPkw1

Ćwiczenie 2

R1Og1YTToTmhp1

Ćwiczenie 3

R1D56LZ12lYOJ2

Ćwiczenie 4

Rap3qEdzB6AGK21

Ćwiczenie 5

Łączenie par. Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi..

X = (0; 0)

. Możliwe odpowiedzi: Dane są punkty

A = (1; - 1)

B = (- 2; 5)

. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek

A B

na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego., Dane są punkty

A = (- 1; - 4)

B = (2; 5)

. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek

A B

na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego., Dane są punkty

A = (- 2; 8)

B = (1; 4)

. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek

A B

na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego..

Y = (2; 1)

. Możliwe odpowiedzi: Dane są punkty

A = (1; - 1)

B = (- 2; 5)

. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek

A B

na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego., Dane są punkty

A = (- 1; - 4)

B = (2; 5)

. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek

A B

na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego., Dane są punkty

A = (- 2; 8)

B = (1; 4)

. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek

A B

na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego..

Z = (1; 2)

. Możliwe odpowiedzi: Dane są punkty

A = (1; - 1)

B = (- 2; 5)

. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek

A B

na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego., Dane są punkty

A = (- 1; - 4)

B = (2; 5)

. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek

A B

na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego., Dane są punkty

A = (- 2; 8)

B = (1; 4)

. Wskaż wszystkie punkty, które dzielą odcinek

A B

na dwa odcinki, z których jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego.

Ćwiczenie 6

Udowodnij, że punkt $S$ , który dzieli odcinek o końcach $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ w taki sposób, że długość odcinka $B S$ jest dwa razy dłuższa niż długość odcinka $A S$ o współrzędnych $(\frac{x_{B} + 2 x_{A}}{3}, \frac{x_{B} + 2 y_{A}}{3})$ .

Zauważmy, że $\vec{AS} = \frac{1}{3} \vec{AB}$ .

Niech punkt $S$ ma współrzędne $(x_{S}, y_{S})$ .

Wówczas $\vec{AS} = [x_{S} - x_{A}; y_{S} - y_{A}]$

oraz $\vec{SB} = [x_{B} - x_{S}; y_{B} - y_{S}]$ .

Zatem prawdziwa jest równość:

$[x_{S} - x_{A}; y_{S} - y_{A}] = \frac{1}{3} [x_{B} - x_{S}; y_{B} - y_{S}]$ ,

która jest równoważna równości

$[x_{S} - x_{A}; y_{S} - y_{A}] = [\frac{1}{3} (x_{B} - x_{S}); \frac{1}{3} (y_{B} - y_{S})]$ .

Przypomnijmy, że wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne, czyli gdy zachodzą oba równania jednocześnie:

$x_{S} - x_{A} = \frac{1}{3} (x_{B} - x_{S})$ oraz $y_{S} - y_{A} = \frac{1}{3} (y_{B} - y_{S})$ .

Po wyznaczeniu z nich wielkości $x_{S}$ i $y_{S}$ otrzymujemy

$S = (\frac{x_{B} + 2 x_{A}}{3}; \frac{y_{B} + 2 y_{A}}{3})$ ,

co kończy dowód.

R1381JNjdzdj631

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Udowodnij, że środek $S$ wektora o początku $A = (x_{A}; y_{A})$ i końcu $B = (x_{B}; y_{B})$ ma współrzędne $X_{S} = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ .

Niech $S$ ma współrzędne $(x_{S}; y_{S})$ . Wówczas możemy zauważyć, że $\vec{AS} = \frac{1}{2} \vec{AB}$ , czyli

$[x_{S} - x_{A}; y_{S} - y_{A}] = \frac{1}{2} [x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}]$ ,

co jest równoważne równaniu

$[x_{S} - x_{A}; y_{S} - y_{A}] = [\frac{1}{2} (x_{B} - x_{A}); \frac{1}{2} (y_{B} - y_{A})]$ .

Po przekształceniu daje to współrzędne punktu

$S$ : $x_{S} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ i $y_{S} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ .

Ćwiczenie 9

Na odcinku o końcach $A = (1; 2)$ i $B = (5; - 3)$ wyznacz taki punkt $X$ , aby długość wektora $\vec{X B}$ była cztery razy większa niż długość wektora $\vec{A X}$ .

Zauważmy, że $\vec{XB} = 4 \vec{AX}$ . Niech punkt $X$ ma współrzędne $(a; b)$ .
Wówczas $[5 - a; - 3 - b] = 4 \cdot [a - 1; b - 2]$ , co jest równoważne równaniu $[5 - a; - 3 - b] = [4 (a - 1); 4 (b - 2)]$ .
Wynika stąd, że $5 - a = 4 (a - 1)$ i $- 3 - b = 4 (b - 2)$ . Czyli $a = \frac{9}{5}$ i $b = 1$ .
Zatem $X = (\frac{9}{5}; 1)$ .

Infografika

Dla nauczyciela