Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rtj4oZMx1rG6K1

Ćwiczenie 1

Rqftio3GdChzo1

Ćwiczenie 2

RwPhuJ7BlrYLU1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Na każdym rysunku przedstawiono krzywą, zbudowaną z nieskończonej liczby półokręgów. Wiedząc, że promienie kolejnych półokręgów są ciągami geometrycznymi, połącz krzywą z jej długością.

R12w9Xk4YdJ9B

R1CyvjW7oEyyX

R1cEVvG2zYoRs2

Ćwiczenie 5

R1eipqsXY4vFa2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Odcinek długości $1$ dzielimy na $5$ równych części i usuwamy drugi i czwarty odcinek otwarty. Sumę długości odcinków, które pozostały oznaczamy przez $a_{1}$ . Następnie każdy z tych odcinków ponownie dzielimy na $5$ równych części i usuwamy drugi i czwarty odcinek otwarty z każdego z nich, otrzymując dziewięć odcinków, których sumę długości oznaczamy przez $a_{2}$ . Konstrukcję tę powtarzamy nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ .

$a_{1} = \frac{3}{5}$

$a_{2} = \frac{9}{25}$

$\dots$

$a_{n} = (\frac{3}{5})^{n}$

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{3}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Na bokach $A B$ , $B C$ , $C A$ trójkąta równobocznego $A B C$ o boku długości $x$ , wyznaczamy punkty odpowiednio: $C_{1}$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ w taki sposób, że $\frac{|A C_{1}|}{|A B|} = \frac{|B A_{1}|}{|B C|} = \frac{|C B_{1}|}{|C A|} = \frac{2}{3}$ . Na bokach $A_{1} B_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ , $C_{1} A_{1}$ trójkąta równobocznego $A_{1} B_{1} C_{1}$ wyznaczamy punkty odpowiednio: $C_{2}$ , $A_{2}$ , $B_{2}$ w taki sposób, że $\frac{|A_{1} C_{2}|}{|A_{1} B_{1}|} = \frac{|B_{1} A_{2}|}{|B_{1} C_{1}|} = \frac{|C_{1} B_{2}|}{|C_{1} A_{1}|} = \frac{2}{3}$ . Tak postępujemy w nieskończoność. Dla jakich wartości $x$ suma pól tych wszystkich trójkątów jest równa $\frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ?

Trójkąt $A C_{1} B_{1}$ jest prostokątny i bok $|C_{1} B_{1}| = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ .

Zatem $\frac{|B_{1} C_{1}|}{|B C|} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ i jest to wartość ilorazu ciągu geometrycznego złożonego z długości boków kolejnych trójkątów.

$\frac{3 \sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots)$

Stąd $x = 1$ .

Animacja

Dla nauczyciela