Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1WNxfMrGarLI1

Ćwiczenie 1

RjmC2B79NudU0

Ćwiczenie 1

R15wTpwXHqHID1

Ćwiczenie 2

Jeśli walec opisano na kuli, to prawdziwe są zdania:

pole powierzchni bocznej walca jest równe polu powierzchni kuli
pole powierzchni całkowitej walca jest równe polu powierzchni kuli
stosunek objętości walca do objętości kuli jest równy $\frac{3}{2}$
dwie objętości kuli są równe trzem objętościom walca

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono przekrój osiowy walca opisanego na kuli. Jaką miarę ma kąt zawarty pomiędzy przekątną przekroju osiowego walca a płaszczyzną podstawy walca.

RtpiXTbqAGWw2

Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano kwadrat A B C D, w który wpisano okrąg o środku w punkcie O. Zaznaczono przekątną kwadratu łączącą wierzchołek B i D, przechodzącą przez punkt O. Kąt nachylenia przekątnej kwadratu do jego boku oznaczono alfa.

R1gUH13EmLqBd

Odpowiedź: $α =$ ............ $°$

Ćwiczenie 4

Oblicz objętość walca o polu powierzeni całkowitej $S$ opisanego na kuli o promieniu długości $R$ .

Z warunków zadania wynika, że długość średnicy kuli, długość średnicy podstawy walca i wysokość walca są sobie równe. Zatem przyjmując odpowiedni oznaczenia:
$R$ - długość promienia kuli oraz długość promienia podstawy walca;
$H = 2 R$ - długość wysokości walca,

otrzymujemy:

$2 π R (R + 2 R) = S$ ,

stąd $R = \sqrt{\frac{S}{6 π}}$ .

Objętość walca liczymy ze wzoru

$V_{w} = π R^{2} \cdot 2 R$ ,

zatem $V_{w} = \frac{S}{3} \sqrt{\frac{S}{6 π}}$ .

Ćwiczenie 5

Wyznacz długość promienia kuli wpisanej w walec, którego przekrój osiowy jest kwadratem o przekątnej długości $n \sqrt{6}$ .

Oznaczy długość promienia kuli jako $R$ . Przekrój osiowy walca jest zatem kwadratem o boku długości $2 R$ .

Przekątna kwadratu ma zatem długość $2 R \sqrt{2}$ . Wynika stąd, że

$2 R \sqrt{2} = n \sqrt{6}$ .

Stąd $R = \frac{n \sqrt{3}}{2}$ .

Ćwiczenie 6

Trzy parami styczne kule o promieniu $r = 6$ włożono do naczynia w kształcie walca w ten sposób, że każda z kul jest styczna do obu podstaw walca oraz do jego powierzchni bocznej. Oblicz długość promienia $R$ tego walca.

Aby wyznaczyć promień walca, narysujemy najpierw jego widok góry:

Rs88P8Jk6lXgp

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie G, w który wpisano trzy mniejsze okręgi o środkach w punktach A, B i C, w taki sposób, że każdy z nich jest styczny do dwóch pozostałych i największego. Zaznaczono trójkąt równoboczny, którego wierzchołki stanowią punkty A, B i C. Przez okręgi o środkach A i B poprowadzono proste przechodzące przez ich środki, które przecinają się w punkcie G i są styczne do trzeciego okręgu. Średnica mniejszego okręgu wynosi tyle co promień okręgu większego. Promień mniejszego okręgu wynosi sześć.

Środki kul wyznaczają trójkąt równoboczny o boku długości $a = 12$ . Zatem długość promienia walca jest równa sumie długości promienia kuli i $\frac{2}{3}$ długości wysokości $h$ wyznaczonego trójkąta.

Stąd:

$R$ $= 6 + \frac{2}{3} \cdot \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 + 4 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 7

W walec wpisano trzy kule zewnętrznie styczne o promieniach długości równej długości promienia podstawy walca. Środki kul należą do osi obrotu walca oraz wysokość walca jest równa sumie średnic tych kul. Wykreśl przekrój osiowy walca opisanego na tych trzech kulach. Wyznacz stosunek pola powierzchni całkowitej walca do sumy pól powierzchni wpisanych kul.

Wykreślamy przekrój osiowy i przyjmujemy oznaczenia.

R1NizlqphsAML

Ilustracja przedstawia pole w kratkę. Na płaszczyźnie narysowano prostokąt A B C D. Długość dłuższego boku opisuje równanie H=6R. W prostokąt wpisano trzy takie same okręgi w taki sposób, że okrąg pierwszy i trzeci z kolei jest styczny do dwóch dłuższych boków prostokąta i jednego krótszego oraz do środkowego okręgu. Okrąg środkowy jest styczny pary dłuższych boków oraz dwóch okręgów. Środki okręgów oznaczono O1 oraz O2 oraz O3. Na boku AB zaznaczono punkt S stanowiący jego środek. Odległość punktu S od wierzchołka B oznaczono małą literą r. Zaznaczono odcinki prostopadłe do dłuższego boku DC, łączące środki okręgów z tym bokiem i oznaczono je wielką literą R.

$R$ - długość promienia kuli;
$r = R$ - długość promienia podstawy walca;
$H = 6 R$ - długość wysokości walca.

Stosunek pola powierzchni całkowitej walca do sumy pól powierzchni wpisanych kul obliczymy ze związku

$\frac{P_{w}}{3 P_{k}} = \frac{2 π r (r + H)}{3 \cdot 4 π R^{2}} = \frac{2 π R (R + 6 R)}{12 π R^{2}} = \frac{7}{6}$ .

Ćwiczenie 8

W walec wpisano $n$ kul zewnętrznie stycznych o promieniach długości równej długości promienia podstawy walca. Środki kul należą do osi obrotu walca oraz wysokość walca jest równa sumie średnic tych kul. Wykaż, że stosunek pola powierzchni całkowitej walca do sumy pól powierzchni wpisanych kul jest określony zależnością $\frac{P_{w}}{n P_{k}} = \frac{1 + 2 n}{2 n}$ , gdzie $n$ oznacza liczbę wpisanych kul.

Stosunek pola powierzchni całkowitej walca do sumy pól powierzchni wpisanych kul obliczymy ze związku

$\frac{P_{w}}{n \cdot P_{k}} = \frac{2 π r (r + H)}{n \cdot 4 π R^{2}} = \frac{2 π R (R + n \cdot 2 R)}{4 n π R^{2}} = \frac{2 π R^{2} (1 + 2 n)}{4 n π R^{2}} = \frac{1 + 2 n}{2 n}$ ,

co należało wykazać.

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela