Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Skonstruuj na sferze okrąg o środku w punkcie $P$ . Wyznacz punkt biegunowy (punkt maksymalnie oddalony od koła wielkiego) do punktu $P$ i nazwij go $P'$ . Czy punkt $P'$ jest środkiem okręgu, który został przez Ciebie narysowany jako pierwszy? Jak to sprawdzić? Uzasadnij swoją odpowiedź.

Ćwiczenie 2

Na poniższym zdjęciu widać cyrkiel sferyczny z zestawu specjalnie zaprojektowanych przyrządów do konstrukcji na powierzchni kuli:

R18rLSsxT6okL

Zdjęcie przedstawia przeźroczystą kulę, na której zaznaczono biegun, okrąg mały oraz dwa prostopadłe łuki przecinające się w biegunie. W biegun wbito cyrkiel sferyczny. Różni się on od zwykłego cyrkla tym, że jego jedna nóżka jest łukiem,. Druga nóżka jest krótsza i ukośna i ma miejsce do umieszczenia długopisu. — Źródło: István Lénárt, licencja: CC BY-SA 3.0.

Widać na nim, że na zakrzywionej części można regulować promień okręgu. Przypomnij sobie, w jakich jednostkach mierzymy odległości (a więc również długości odcinków sferycznych) na sferze i wybierz prawidłowe odpowiedzi na następujące pytania:

RNFxtfGA4X4wU

Jaki może być największy promień okręgu narysowanego na sferze? Zaznacz poprawną odpowiedź.

$180 °$
$360 °$
$90 °$
$120 °$

Rr5Sgc21l0jqk

Gdzie leży środek okręgu o największym promieniu? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

W odpowiadającym mu punkcie biegunowym.
W dowolnym punkcie sfery.
Na równiku.
"Wewnątrz" tego okręgu.

Ćwiczenie 3

Kontynuujmy rozważanie z Ćwiczeń $1$ i $2$ . Jeśli (w Ćwiczeniu $1$ ) stwierdziliśmy, że każdy punkt okręgu jest równo oddalony od dwóch wyróżnionych punktów, to powstaje pytanie: Ile środków ma okrąg sferyczny? Ile ma promieni sferycznych? Czy jest jakiś związek pomiędzy odcinkami sferycznymi, które mogą być uznane za promienie okręgu? Popatrz jeszcze raz na zdjęcie lub wykonaj własne doświadczenie, wyciągnij wnioski i uzupełnij poniższy tekst.

R1U9BlVP3tom0

Zdjęcie przedstawia kulę styropianową, na której narysowano okrąg mały i okrąg wielki oraz zaznaczono biegun. Na kulę założono gumkę recepturkę w taki sposób, by przebiegała przez bieguny i przecinała w połowie oba okręgi. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RsFKeKpUbgi54

Rzeczywiście, jeśli istnieją 1. środek, 2. odcinków sferycznych, 3. dwa środki, 4. biegunami, 5. promienie sferyczne, 6. dwa punkty takie, że każdy punkt okręgu jest równo oddalony od każdego z nich, to teoretycznie okrąg sferyczny ma 1. środek, 2. odcinków sferycznych, 3. dwa środki, 4. biegunami, 5. promienie sferyczne, 6. dwa. W tej sytuacji ma też dwa 1. środek, 2. odcinków sferycznych, 3. dwa środki, 4. biegunami, 5. promienie sferyczne, 6. dwa: są to odległości punktów okręgu od jego środków. Suma tych odległości (czyli suma długości dwóch 1. środek, 2. odcinków sferycznych, 3. dwa środki, 4. biegunami, 5. promienie sferyczne, 6. dwa) jest równa

180 °

, czyli odległości między 1. środek, 2. odcinków sferycznych, 3. dwa środki, 4. biegunami, 5. promienie sferyczne, 6. dwa. Jednak, aby uniknąć niejednoznaczności w obliczeniach np. wielkości okręgu, przyjmuje się za 1. środek, 2. odcinków sferycznych, 3. dwa środki, 4. biegunami, 5. promienie sferyczne, 6. dwa okręgu sferycznego punkt, którego odległość od każdego punktu okręgu jest nie większa niż

90 °

, a za jego promień tę właśnie odległość.

promienie sferyczne, środek, biegunami, odcinków sferycznych, dwa, dwa środki

Rzeczywiście, jeśli istnieją .......................................... punkty takie, że każdy punkt okręgu jest równo oddalony od każdego z nich, to teoretycznie okrąg sferyczny ma ........................................... W tej sytuacji ma też dwa ..........................................: są to odległości punktów okręgu od jego środków. Suma tych odległości (czyli suma długości dwóch ..........................................) jest równa $180 °$ , czyli odległości między ........................................... Jednak, aby uniknąć niejednoznaczności w obliczeniach np. wielkości okręgu, przyjmuje się za .......................................... okręgu sferycznego punkt, którego odległość od każdego punktu okręgu jest nie większa niż $90 °$ , a za jego promień tę właśnie odległość.

RygYVeZBQJahh2

Ćwiczenie 4

Rozważ zdanie: Aby na sferze narysować okrąg o promieniu $120 °$ , wystarczy narysować okrąg o promieniu $180 ° - 120 ° = 60 °$ . Czy jest to zdanie prawdziwe, czy fałszywe?

Prawda	Fałsz
□	□

Ćwiczenie 5

Który południk ma długość równą połowie długości równika?

Ćwiczenie 6

Czy na trójkącie sferycznym można opisać okrąg? Wykonaj odpowiednią konstrukcję i uzasadnij odpowiedź.

R1RFsI9JjUvDt3

Ćwiczenie 7

Przeciągnij odpowiednie elementy w odpowiednie miejsca i wypełnij poniższą tabelę podsumowując swoje odkrycia dotyczące własności okręgów na płaszczyźnie i na sferze.

Co to jest okrąg?, Ile jest punktów równo oddalonych od każdego punktu danego okręgu?, Czy można narysować największy okrąg?, Jaką część średnicy stanowi promień?, Największy możliwy promień okręgu jest równy..., Czy okrąg może przyjąć postać prostej?, Stosunek długości okręgu do jego średnicy jest...

Zdanie	Na płaszczyźnie	Na sferze
Co to jest okrąg?
Ile jest punktów równo oddalonych od każdego punktu danego okręgu?
Czy można narysować największy okrąg?
Jaką część średnicy stanowi promień?
Największy możliwy promień okręgu jest równy...
Czy okrąg może przyjąć postać prostej?
Stosunek długości okręgu do jego średnicy jest...

Ćwiczenie 8

A teraz wyobraź sobie okrąg w przestrzeni kosmicznej. Gdyby orbita Ziemi w ruchu wokół Słońca była idealnym okręgiem, jaki kąt wyznaczyłaby Ziemia obiegając Słońce w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od równonocy jesiennej do przesilenia letniego?

Od równonocy jesiennej do przesilenia zimowego mamy jedną czwartą roku, a więc Ziemia musi przebyć jedną czwartą swojej orbity, czyli $90 °$ ; od przesilenia zimowego do równonocy wiosennej znowu $90 °$ ; od wiosennej równonocy do przesilenia letniego kolejne $90 °$ , czyli razem $270 °$ . Oczywiście wszystkie obliczenia są przybliżone, ponieważ orbita Ziemi nie jest idealnym okręgiem.

Film edukacyjny

Dla nauczyciela