Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dany jest sześcian.

R7XTjaXQAvexg

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H. Po przekątnej ściany bocznej, przez odcinki AB oraz HG przebiega płaszczyzna

R1SxRAuWqF5G1

Ćwiczenie 2

Dany jest graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego o boku długości $a$ . Wysokość graniastosłupa wynosi $\sqrt{2} a$ .

R1cJWBaMD36sn

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego A B C D E F G H I J K L. Przez przekątną ściany bocznej graniastosłupa, przez odcinki CE oraz H L przebiega płaszczyzna.

R1HSRB1uNd1xm

W celu uzasadnienia, że czworokąt B C K G jest kwadratem, uzupełnij luki w tekście jednym z zamieszczonych określeń. Z trójkątów 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a C B H i E F L obliczamy długość odcinka, C H, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, E L, koniec długości odcinka, równa się1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a
Kąt w sześcianie foremnym ma miarę 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, więc z trójkątów 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a C E D i H L G
obliczamy długość odcinka, H L, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, C E, koniec długości odcinka, równa się1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a.
Ponieważ długość odcinka, H L, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, E L, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, L H, koniec długości odcinka, równa się, długość odcinka, C H, koniec długości odcinka, więc czworokąt C E L H jest 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a.
Rzutem prostopadłym odcinka E L na płaszczyznę podstawy jest odcinek 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a oraz kąt C E F ma miarę 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a. Stąd prosta C E jest 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a do prostej E F, czyli z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych kąt C E L jest kątem 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a. Zatem romb C E L H jest 1. kwadratem, 2. rombem, 3. dwa a, 4. E F, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11. sto pięćdziesiąt stopni, 12. dziewięćdziesiąt stopni, 13. E L, 14. sto dwadzieścia stopni, 15. ostrokątnych, 16. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka a, 21. prostokątem, 22. sześćdziesiąt stopni, 23. dwa a, 24. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka a.

Ćwiczenie 3

RiG5vNa8huymm

Jeśli prosta $m$ byłaby prostopadła do prostej $k$ , to prosta $m$ byłaby prostopadła do prostej $k'$ . Stąd jeśli prosta $m$ nie jest prostopadła do prostej $k'$ , to prosta $m$ nie może być prostopadła do prostej $k$ .

Ćwiczenie 4

Dany jest graniastosłup o podstawie pięciokąta foremnego. Uzasadnij, że kąt $C A J$ nie jest kątem prostym.

RDGLhacn5yuPy

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie pięciokąta foremnego. A B C D E F G H I J. Przez podstawę przebiega przekątna AC, która tworzy z przekątną ściany bocznej A J pewien kąt.

Rzutem prostopadłym odcinka $A J$ na płaszczyznę podstawy jest odcinek $A E$ . Kąty pięciokąta foremnego mają miarę $108 °$ . Trójkąt $A C B$ jest trójkątem równoramiennym, więc kąt $B A C$ ma miarę $(180 ° - 108 °) : 2 = 36 °$ . Stąd kąt $C A E$ ma miarę $108 ° - 36 ° = 72 °$ . Ponieważ prosta $A C$ nie jest prostopadła do prostej $A E$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych wynika, że prosta $A C$ nie jest prostopadła do prostej $A J$ .

Ćwiczenie 5

REpz6URueDCiW

Dany jest ostrosłup A B C D, którego podstawą jest trójkąt prostokątny A B C, gdzie kąt A B C jest kątem prostym. Spodek wysokości E tego ostrosłupa należy do odcinka B C. Dobierz do każdego z stwierdzenia (a i b) odpowiadające mu uzasadnienie (A, B, C, D). a) Trójkąt A B D jest trójkątem prostokątnym. 1. D) Ponieważ odcinek B E jest rzutem prostokątnym odcinka B D na płaszczyznę A B C oraz

A B ⊥ B E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥ B D

., 2. C) Ponieważ odcinek A E jest rzutem prostokątnym odcinka A D na płaszczyznę A B C oraz

B C ⊥ D E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥ B D

., 3. A) Możemy tak wybrać punkt E, abyE, równa się, A., 4. B) Możemy tak wybrać punkt E, aby E, równa się, B.
b) Trójkąt B C D może być trójkątem prostokątnym. 1. D) Ponieważ odcinek B E jest rzutem prostokątnym odcinka B D na płaszczyznę A B C oraz

A B ⊥ B E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥ B D

., 2. C) Ponieważ odcinek A E jest rzutem prostokątnym odcinka A D na płaszczyznę A B C oraz

B C ⊥ D E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥ B D

., 3. A) Możemy tak wybrać punkt E, abyE, równa się, A., 4. B) Możemy tak wybrać punkt E, aby E, równa się, B.

Ćwiczenie 6

Dany jest ostrosłup $A B C D E$ , w którym prosta $D E$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy $A B C D$ . Wykaż, że jeśli czworokąt $A B C D$ jest kwadratem, to wszystkie ściany boczne ostrosłupa są trójkątami prostokątnymi.

RmLPRIKlUxHTI

Ilustracja przedstawia ostrosłup. A B C D E. Posiada cztery ściany boczne. Krawędź dwóch z nich tworzy wysokość ostrosłupa i są prostopadłe do podstawy.

Ponieważ prosta $D E$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy $A B C D$ , więc $D E ⊥ A D$ i $D E ⊥ D C$ . Prosta $A D$ jest rzutem prostokątnym prostej $A E$ na płaszczyznę podstawy $A B C D$ oraz $A B ⊥ A D$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych $A B ⊥ A E$ . Prosta $C D$ jest rzutem prostokątnym prostej $C E$ na płaszczyznę podstawy $A B C D$ oraz $B C ⊥ C D$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych $B C ⊥ C E$ .

Ćwiczenie 7

R1QJIKnpapGTe

Ponieważ odcinek B E jest rzutem prostokątnym odcinka B D na płaszczyznę A B C oraz

A B ⊥ B E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥

... Z trójkąta prostokątnego A B C otrzymujemy długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, równa się1. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 4. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Z trójkąta prostokątnego A B D otrzymujemy długość odcinka, A D, koniec długości odcinka, równa się1. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 4. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Z trójkąta prostokątnego B E D otrzymujemy długość odcinka, B E, koniec długości odcinka, równa się1. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 4. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Z trójkąta prostokątnego C E D otrzymujemy długość odcinka, C D, koniec długości odcinka, równa się1. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 4. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Połowa obwodu trójkąta A C D wynosi p, równa się1. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 4. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.
Ze wzoru Herona pole trójkąta A C D wynosi P, równa się1. pięć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 3. pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, 4. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 5. dwa pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka, 6. cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.

Ponieważ odcinek B E jest rzutem prostokątnym odcinka B D na płaszczyznę A B C oraz

A B ⊥ B E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥

Ćwiczenie 8

Dany jest ostrosłup $A B C D E$ , w którym podstawą jest kwadrat o boku długości $a$ . Prosta $D E$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy $A B C D$ . Wiedząc, że pole powierzchni całkowitej wynosi $(3 + \sqrt{5}) a^{2}$ wyznaczyć długość wysokości tego ostrosłupa.

R1DXsD5p7NHE2

Odcinek $D E$ jest wysokością tego ostrosłupa. Oznaczmy go przez $H$ . Ponieważ kąty $A D E$ , $C D E$ , $B A E$ i $B C E$ są kątami prostymi, więc $|A E| = |C E| = \sqrt{a^{2} + H^{2}}$ oraz $P_{A D E} = P_{C D E} = \frac{1}{2} a H$ i $P_{A B E} = P_{B C E} = \frac{1}{2} a \sqrt{a^{2} + H^{2}}$ .

Stąd $P_{c} = a^{2} + a H + a \sqrt{a^{2} + H^{2}}$ .

Zatem

$a^{2} + a H + a \sqrt{a^{2} + H^{2}} = (3 + \sqrt{5}) a^{2}$ ,

$a \sqrt{a^{2} + H^{2}} = (2 + \sqrt{5}) a^{2} - a H$ ,

$\sqrt{a^{2} + H^{2}} = (2 + \sqrt{5}) a - H$ ,

${(\sqrt{a^{2} + H^{2}})}^{2} = {((2 + \sqrt{5}) a - H)}^{2}$ , dla $(2 + \sqrt{5}) a \geq H$ ,

$a^{2} + H^{2} = (9 + 4 \sqrt{5}) a^{2} - 2 (2 + \sqrt{5}) a H + H^{2}$ ,

$2 (2 + \sqrt{5}) a H = (8 + 4 \sqrt{5}) a^{2}$ ,

$2 (2 + \sqrt{5}) a H = 4 (2 + \sqrt{5}) a^{2}$ ,

$H = 2 a$ .

Ponadto $(2 + \sqrt{5}) a \geq 2 a$ .

Zatem $H = 2 a$ jest rozwiązaniem.

Aplet

Dla nauczyciela