Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dany jest sześcian.

R7XTjaXQAvexg

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H. Po przekątnej ściany bocznej, przez odcinki AB oraz HG przebiega płaszczyzna

R1SxRAuWqF5G1

Jaką figurą jest czworokąt $A B G H$ ? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

trapezem
równoległobokiem
prostokątem
kwadratem

Ćwiczenie 2

Dany jest graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego o boku długości $a$ . Wysokość graniastosłupa wynosi $\sqrt{2} a$ .

R1cJWBaMD36sn

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego A B C D E F G H I J K L. Przez przekątną ściany bocznej graniastosłupa, przez odcinki CE oraz H L przebiega płaszczyzna.

R1HSRB1uNd1xm

W celu uzasadnienia, że czworokąt

B C K G

jest kwadratem, uzupełnij luki w tekście jednym z zamieszczonych określeń. Z trójkątów 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

C B H

E F L

obliczamy

|C H| = |E L| =

1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

Kąt w sześcianie foremnym ma miarę 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

, więc z trójkątów 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

C E D

H L G

obliczamy

|H L| = |C E| =

1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

.
Ponieważ

|H L| = |E L| = |L H| = |C H|

, więc czworokąt

C E L H

jest 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

.
Rzutem prostopadłym odcinka

E L

na płaszczyznę podstawy jest odcinek 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

oraz kąt

C E F

ma miarę 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

. Stąd prosta

C E

jest 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

do prostej

E F

, czyli z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych kąt

C E L

jest kątem 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

. Zatem romb

C E L H

jest 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

W celu uzasadnienia, że czworokąt

B C K G

jest kwadratem, uzupełnij luki w tekście jednym z zamieszczonych określeń. Z trójkątów 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

C B H

E F L

obliczamy

|C H| = |E L| =

1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

Kąt w sześcianie foremnym ma miarę 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

, więc z trójkątów 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

C E D

H L G

obliczamy

|H L| = |C E| =

1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

.
Ponieważ

|H L| = |E L| = |L H| = |C H|

, więc czworokąt

C E L H

jest 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

.
Rzutem prostopadłym odcinka

E L

na płaszczyznę podstawy jest odcinek 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

oraz kąt

C E F

ma miarę 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

. Stąd prosta

C E

jest 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

do prostej

E F

, czyli z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych kąt

C E L

jest kątem 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

. Zatem romb

C E L H

jest 1. kwadratem, 2. rombem, 3.

2 a

, 4.

E F

, 5. równoramiennych, 6. rozwartym, 7. równobocznych, 8.

\sqrt{3} a

, 9. prostokątnych, 10. ostrym, 11.

150 °

, 12.

90 °

, 13.

E L

, 14.

120 °

, 15. ostrokątnych, 16.

\sqrt{2} a

, 17. równoległa, 18. prostym, 19. prostopadła, 20.

\sqrt{3} a

, 21. prostokątem, 22.

60 °

, 23.

2 a

, 24.

\sqrt{2} a

W celu uzasadnienia, że czworokąt $C E L H$ jest kwadratem, uzupełnij luki w tekście jednym z zamieszczonych określeń.

$120 °$ , $\sqrt{2} a$ , rozwartym, rombem, $60 °$ , $\sqrt{2} a$ , $90 °$ , ostrokątnych, $150 °$ , prostokątem, kwadratem, $2 a$ , $\sqrt{3} a$ , równobocznych, prostopadła, równoległa, prostokątnych, $E F$ , $2 a$ , równoramiennych, $E L$ , ostrym, $\sqrt{3} a$ , prostym

Z trójkątów ................................ $C B H$ i $E F L$ obliczamy $"|"C H"|" = "|"E L"|" =$ ................................
Kąt w sześciokącie foremnym ma miarę ................................, więc z trójkątów ................................ $C E D$ i $H L G$
obliczamy $"|"H L"|" = "|"C E"|" =$ .................................
Ponieważ $"|"H L"|" = "|"E L"|" = "|"E C"|" = "|"C H"|"$ , więc czworokąt $C E L H$ jest .................................
Rzutem prostopadłym odcinka $E L$ na płaszczyznę podstawy jest odcinek ................................ oraz kąt $C E F$ ma miarę ................................. Stąd prosta $C E$ jest ................................ do prostej $E F$ , czyli z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych kąt $C E L$ jest kątem ................................. Zatem romb $C E L H$ jest .................................

Ćwiczenie 3

RiG5vNa8huymm

W trójkącie $A B C$ boki mają długości: $"|"A B"|" = 30$ , $"|"A C"|" = "|"B C"|" = 25$ . Odcinek $A D$ jest prostopadły do płaszczyzny $A B C$ . Odległość punktu $D$ od prostej $B C$ jest równa $26$ . Czy odległość punktu $D$ od płaszczyzny $A B C$ wynosi $10$ ?

Jeśli prosta $m$ byłaby prostopadła do prostej $k$ , to prosta $m$ byłaby prostopadła do prostej $k'$ . Stąd jeśli prosta $m$ nie jest prostopadła do prostej $k'$ , to prosta $m$ nie może być prostopadła do prostej $k$ .

Ćwiczenie 4

Dany jest graniastosłup o podstawie pięciokąta foremnego. Uzasadnij, że kąt $C A J$ nie jest kątem prostym.

RDGLhacn5yuPy

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie pięciokąta foremnego. A B C D E F G H I J. Przez podstawę przebiega przekątna AC, która tworzy z przekątną ściany bocznej A J pewien kąt.

Rzutem prostopadłym odcinka $A J$ na płaszczyznę podstawy jest odcinek $A E$ . Kąty pięciokąta foremnego mają miarę $108 °$ . Trójkąt $A C B$ jest trójkątem równoramiennym, więc kąt $B A C$ ma miarę $(180 ° - 108 °) : 2 = 36 °$ . Stąd kąt $C A E$ ma miarę $108 ° - 36 ° = 72 °$ . Ponieważ prosta $A C$ nie jest prostopadła do prostej $A E$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych wynika, że prosta $A C$ nie jest prostopadła do prostej $A J$ .

Ćwiczenie 5

REpz6URueDCiW

Dany jest ostrosłup

A B C D

, którego podstawą jest trójkąt prostokątny

A B C

, gdzie kąt

A B C

jest kątem prostym. Spodek wysokości

E

tego ostrosłupa należy do odcinka

B C

. Dobierz do każdego z stwierdzenia (

a

b

) odpowiadające mu uzasadnienie (

A

B

C

D

). a) Trójkąt

A B D

jest trójkątem prostokątnym. 1. D) Ponieważ odcinek

B E

jest rzutem prostokątnym odcinka

B D

na płaszczyznę

A B C

oraz

A B ⊥ B E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥ B D

., 2. C) Ponieważ odcinek

A E

jest rzutem prostokątnym odcinka

A D

na płaszczyznę

A B C

oraz

B C ⊥ D E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥ B D

., 3. A) Możemy tak wybrać punkt

E

, aby

E = A

., 4. B) Możemy tak wybrać punkt

E

, aby

E = B

.
b) Trójkąt

B C D

może być trójkątem prostokątnym. 1. D) Ponieważ odcinek

B E

jest rzutem prostokątnym odcinka

B D

na płaszczyznę

A B C

oraz

A B ⊥ B E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥ B D

., 2. C) Ponieważ odcinek

A E

jest rzutem prostokątnym odcinka

A D

na płaszczyznę

A B C

oraz

B C ⊥ D E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥ B D

., 3. A) Możemy tak wybrać punkt

E

, aby

E = A

., 4. B) Możemy tak wybrać punkt

E

, aby

E = B

Dany jest ostrosłup $A B C D$ , którego podstawą jest trójkąt prostokątny $A B C$ , gdzie kąt $A B C$ jest kątem prostym. Spodek wysokości $E$ tego ostrosłupa należy do odcinka $B C$ . Dobierz do każdego stwierdzenia odpowiadające mu uzasadnienie.

$A E$ , $B E$ , $B D$ , $A D$ , $E = B$ , o trzech prostych prostopadłych, o dwóch prostych prostopadłych, $E = A$ , $A B ⊥ B E$ , $B C ⊥ D E$

Trójkąt $A B D$ jest trójkątem prostokątnym, ponieważ odcinek .................................................................. jest rzutem prostokątnym odcinka .................................................................. na płaszczyznę $A B C$ oraz .................................................................., więc z twierdzenia .................................................................. $A B ⊥ B D$ .

Trójkąt $B C D$ może być trójkątem prostokątnym, możemy tak wybrać punkt $E$ , aby ...................................................................

Ćwiczenie 6

Dany jest ostrosłup $A B C D E$ , w którym prosta $D E$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy $A B C D$ . Wykaż, że jeśli czworokąt $A B C D$ jest kwadratem, to wszystkie ściany boczne ostrosłupa są trójkątami prostokątnymi.

RmLPRIKlUxHTI

Ilustracja przedstawia ostrosłup. A B C D E. Posiada cztery ściany boczne. Krawędź dwóch z nich tworzy wysokość ostrosłupa i są prostopadłe do podstawy.

Ponieważ prosta $D E$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy $A B C D$ , więc $D E ⊥ A D$ i $D E ⊥ D C$ . Prosta $A D$ jest rzutem prostokątnym prostej $A E$ na płaszczyznę podstawy $A B C D$ oraz $A B ⊥ A D$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych $A B ⊥ A E$ . Prosta $C D$ jest rzutem prostokątnym prostej $C E$ na płaszczyznę podstawy $A B C D$ oraz $B C ⊥ C D$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych $B C ⊥ C E$ .

Ćwiczenie 7

R1QJIKnpapGTe

Ponieważ odcinek

B E

jest rzutem prostokątnym odcinka

B D

na płaszczyznę

A B C

oraz

A B ⊥ B E

, więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych

A B ⊥

... Z trójkąta prostokątnego

A B C

otrzymujemy

|A C| =

5 \sqrt{2}

, 2.

2 \sqrt{2}

, 3.

\sqrt{7}

, 4.

4 \sqrt{2}

, 5.

2 \sqrt{15}

, 6.

4 \sqrt{2}

.
Z trójkąta prostokątnego

A B D

otrzymujemy

|A D| =

5 \sqrt{2}

, 2.

2 \sqrt{2}

, 3.

\sqrt{7}

, 4.

4 \sqrt{2}

, 5.

2 \sqrt{15}

, 6.

4 \sqrt{2}

.
Z trójkąta prostokątnego

B E D

otrzymujemy

|B E| =

5 \sqrt{2}

, 2.

2 \sqrt{2}

, 3.

\sqrt{7}

, 4.

4 \sqrt{2}

, 5.

2 \sqrt{15}

, 6.

4 \sqrt{2}

.
Z trójkąta prostokątnego

C E D

otrzymujemy

|C D| =

5 \sqrt{2}

, 2.

2 \sqrt{2}

, 3.

\sqrt{7}

, 4.

4 \sqrt{2}

, 5.

2 \sqrt{15}

, 6.

4 \sqrt{2}

.
Połowa obwodu trójkąta

A C D

wynosi

p =

5 \sqrt{2}

, 2.

2 \sqrt{2}

, 3.

\sqrt{7}

, 4.

4 \sqrt{2}

, 5.

2 \sqrt{15}

, 6.

4 \sqrt{2}

.
Ze wzoru Herona pole trójkąta

A C D

wynosi

P =

5 \sqrt{2}

, 2.

2 \sqrt{2}

, 3.

\sqrt{7}

, 4.

4 \sqrt{2}

, 5.

2 \sqrt{15}

, 6.

4 \sqrt{2}

Dany jest ostrosłup $A B C D$ , którego podstawą jest trójkąt prostokątny równoramienny $A B C$ , gdzie $"|"A B"|" = "|"B C"|" = "|"B D"|" = 4$ . Spodek wysokości $E$ tego ostrosłupa należy do odcinka $B C$ , gdzie $"|"B E"|" = 3 "|"C E"|"$ . Ponieważ odcinek $B E$ jest rzutem prostokątnym odcinka $B D$ na płaszczyznę $A B C$ oraz $A B ⊥ B E$ , więc z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych $A B ⊥ B D$ . Uzupełnij poniższy tekst.

$2 \sqrt{2}$ , $2 + 3 \sqrt{2}$ , $\sqrt{7}$ , $4 \sqrt{2}$ , $4 \sqrt{2}$

Z trójkąta prostokątnego $A B C$ otrzymujemy $"|"A C"|" =$ .............
Z trójkąta prostokątnego $A B D$ otrzymujemy $"|"A D"|" =$ .............
Z trójkąta prostokątnego $B E D$ otrzymujemy $"|"D E"|" =$ .............
Z trójkąta prostokątnego $C E D$ otrzymujemy $"|"C D"|" =$ .............
Połowa obwodu trójkąta $A C D$ wynosi $p =$ .............

Ćwiczenie 8

Dany jest ostrosłup $A B C D E$ , w którym podstawą jest kwadrat o boku długości $a$ . Prosta $D E$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy $A B C D$ . Wiedząc, że pole powierzchni całkowitej wynosi $(3 + \sqrt{5}) a^{2}$ wyznaczyć długość wysokości tego ostrosłupa.

R1DXsD5p7NHE2

Odcinek $D E$ jest wysokością tego ostrosłupa. Oznaczmy go przez $H$ . Ponieważ kąty $A D E$ , $C D E$ , $B A E$ i $B C E$ są kątami prostymi, więc $|A E| = |C E| = \sqrt{a^{2} + H^{2}}$ oraz $P_{A D E} = P_{C D E} = \frac{1}{2} a H$ i $P_{A B E} = P_{B C E} = \frac{1}{2} a \sqrt{a^{2} + H^{2}}$ .

Stąd $P_{c} = a^{2} + a H + a \sqrt{a^{2} + H^{2}}$ .

Zatem

$a^{2} + a H + a \sqrt{a^{2} + H^{2}} = (3 + \sqrt{5}) a^{2}$ ,

$a \sqrt{a^{2} + H^{2}} = (2 + \sqrt{5}) a^{2} - a H$ ,

$\sqrt{a^{2} + H^{2}} = (2 + \sqrt{5}) a - H$ ,

${(\sqrt{a^{2} + H^{2}})}^{2} = {((2 + \sqrt{5}) a - H)}^{2}$ , dla $(2 + \sqrt{5}) a \geq H$ ,

$a^{2} + H^{2} = (9 + 4 \sqrt{5}) a^{2} - 2 (2 + \sqrt{5}) a H + H^{2}$ ,

$2 (2 + \sqrt{5}) a H = (8 + 4 \sqrt{5}) a^{2}$ ,

$2 (2 + \sqrt{5}) a H = 4 (2 + \sqrt{5}) a^{2}$ ,

$H = 2 a$ .

Ponadto $(2 + \sqrt{5}) a \geq 2 a$ .

Zatem $H = 2 a$ jest rozwiązaniem.

Aplet

Dla nauczyciela