Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ro8zEuqGoxmKW1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Środek obrazu okręgu o równaniu $x^{2} + y^{2} - 4 x + 8 y + 4 = 0$ w symetrii względem osi $Y$ ma współrzędne:

$(- 2; - 4)$
$(2; - 4)$
$(- 2; 4)$
$(2; 4)$

R1GvlyXxDbjKv1

Ćwiczenie 2

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Obrazem okręgu o środku w punkcie $(6; - 9)$ i promieniu długości $3$ w symetrii względem osi $Y$ jest okrąg o równaniu:

${(x + 6)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 9$
${(x + 6)}^{2} + {(y - 9)}^{2} = 9$
$x^{2} + y^{2} + 12 x + 18 y + 108 = 0$
$x^{2} + y^{2} + 12 x - 18 y + 108 = 0$

R1LFlPbD8xaMN1

Ćwiczenie 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. Okręgi o równaniach ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ oraz $x^{2} + y^{2} + 10 x - 6 y + 33 = 0$ są symetryczne względem prostej o równaniu:

$x = 0$
$x = - 3$
$x = 2$
$x = - 1$

R1ICUTpveQh8X2

Ćwiczenie 4

Napisz równanie okręgu współśrodkowego z okręgiem o równaniu

o_{1}

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0

, na którym leży punkt o współrzędnych

(1; - 8)

i wyznacz równanie jego obrazu w symetrii względem osi

Y

. Uzupełnij rozwiązanie. Przedstawiamy równanie okręgu

o_{1}

w postaci kanonicznej: 1.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5

, 2.

6

, 3.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

5

, 6.

S = (1; - 2)

, 7.

\sqrt{5}

, 8.

x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 31 = 0

, 9.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5

, 10.

x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 31 = 0

, 11.

\{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y \end{cases}

, 12.

S = (- 1; 2)

, 13.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

.
Środek okręgu

o_{1}

ma współrzędne 1.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5

, 2.

6

, 3.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

5

, 6.

S = (1; - 2)

, 7.

\sqrt{5}

, 8.

x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 31 = 0

, 9.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5

, 10.

x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 31 = 0

, 11.

\{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y \end{cases}

, 12.

S = (- 1; 2)

, 13.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

i promień długości 1.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5

, 2.

6

, 3.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

5

, 6.

S = (1; - 2)

, 7.

\sqrt{5}

, 8.

x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 31 = 0

, 9.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5

, 10.

x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 31 = 0

, 11.

\{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y \end{cases}

, 12.

S = (- 1; 2)

, 13.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

.
Okrąg współśrodkowy

o_{2}

ma zatem środek w punkcie

S

, a jego promień jest równy długości odcinka o końcach

(1; - 2)

(1; - 8)

. Zatem:

r_{2} =

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5

, 2.

6

, 3.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

5

, 6.

S = (1; - 2)

, 7.

\sqrt{5}

, 8.

x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 31 = 0

, 9.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5

, 10.

x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 31 = 0

, 11.

\{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y \end{cases}

, 12.

S = (- 1; 2)

, 13.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

.
Równanie okręgu

o_{2}

ma postać 1.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5

, 2.

6

, 3.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

5

, 6.

S = (1; - 2)

, 7.

\sqrt{5}

, 8.

x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 31 = 0

, 9.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5

, 10.

x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 31 = 0

, 11.

\{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y \end{cases}

, 12.

S = (- 1; 2)

, 13.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

.
Ponieważ w symetrii względem osi

Y

: 1.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5

, 2.

6

, 3.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

5

, 6.

S = (1; - 2)

, 7.

\sqrt{5}

, 8.

x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 31 = 0

, 9.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5

, 10.

x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 31 = 0

, 11.

\{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y \end{cases}

, 12.

S = (- 1; 2)

, 13.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

, więc obrazem symetrycznym tego okręgu w symetrii względem osi

Y

jest okrąg o równaniu 1.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5

, 2.

6

, 3.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

, 4.

\sqrt{6}

, 5.

5

, 6.

S = (1; - 2)

, 7.

\sqrt{5}

, 8.

x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 31 = 0

, 9.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5

, 10.

x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 31 = 0

, 11.

\{\begin{cases} x' = - x \\ y' = y \end{cases}

, 12.

S = (- 1; 2)

, 13.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0

Napisz równanie okręgu współśrodkowego z okręgiem o równaniu $o_{1}$ : $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ , na którym leży punkt o współrzędnych $(1; - 8)$ i wyznacz równanie jego obrazu w symetrii względem osi $Y$ . Uzupełnij rozwiązanie.

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 31 = 0$ , $\sqrt{5}$ , $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0$ , $S = (- 1; 2)$ , $\sqrt{6}$ , ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ , $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 31 = 0$ , $S = (1; - 2)$ , ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$ , $5$ , $x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 31 = 0$ , $"{"\begin{array}{c} x' = - x \\ y' = y \end{array}""$ , $6$

Przedstawiamy równanie okręgu $o_{1}$ w postaci kanonicznej: .................................

Środek okręgu $o_{1}$ ma współrzędne ................................ i promień długości .................................

Okrąg współśrodkowy $o_{2}$ ma zatem środek w punkcie $S$ , a jego promień jest równy długości odcinka o końcach $(1; - 2)$ i $(1; - 8)$ . Zatem: $r_{2} =$ .................................

Równanie okręgu $o_{2}$ ma postać .................................

Ponieważ w symetrii względem osi $Y$ : ................................, więc obrazem symetrycznym tego okręgu w symetrii względem osi $Y$ jest okrąg o równaniu .................................

Ćwiczenie 5

Wyznacz obraz okręgu o środku $(2; - 3)$ i promieniu $1, 5$ względem prostej o równaniu $x = 3$ .

Napiszmy równanie tego okręgu w postaci kanonicznej

${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 2, 25$ ,

a następnie ogólnej:

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 10, 75 = 0$ .

Ponieważ $k = 3$ , więc

${(6 - x)}^{2} + y^{2} - 4 (6 - x) + 6 y + 10, 75 = 0$

Zatem:

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + 22, 75 = 0$

Ćwiczenie 6

Okrąg o środku w punkcie $A' = (10 \sqrt{2}, \sqrt{2})$ jest symetryczny do okręgu o równaniu $o_{1}$ : $x^{2} + y^{2} + 20 x - 2 \sqrt{2} y + 94 = 0$ względem pewnej prostej równoległej do jednej z osi układu współrzędnych. Napisz równanie tej prostej.

Okrąg $o_{1}$ ma środek w punkcie $A = (- 10, \sqrt{2})$ . Ponieważ $y' = y$ , to prosta jest równoległa do osi $Y$ . Przyjmijmy, że ma ona równanie: $x = k$ .

Wykorzystamy wzory $S_{k}$ : $\{\begin{cases} x' = 2 k - x \\ y' = y \end{cases}$ , zatem: $10 \sqrt{2} = 2 k - (- 10)$ , co daje: $2 k = 10 \sqrt{2} - 10$ i w konsekwencji prosta, względem której okręgi są symetryczne, ma równanie: $x = 5 \sqrt{2} - 5$

Ćwiczenie 7

Wyznacz równanie obrazu okręgu symetrycznego względem osi $Y$ do okręgu, którego średnicą jest odcinek o końcach $A = (- 3; 1)$ i $B = (2; 5)$ .

Jeśli końcami średnicy okręgu są punkty $A$ i $B$ , to jego środek ma współrzędne

$S = (\frac{- 3 + 2}{2}, \frac{1 + 5}{2}) = (- \frac{1}{2}, 3)$ ,

a promień $r$ ma długość równą:

$r = \sqrt{{(- \frac{1}{2} - 2)}^{2} + {(3 - 5)}^{2}} = \frac{\sqrt{41}}{2}$ .

Okrąg ten ma zatem równanie:

$x^{2} + y^{2} + x - 6 y - 1 = 0$ ,

a jego obraz symetryczny względem osi $Y$ ma równanie:

$x^{2} + y^{2} - x - 6 y - 1 = 0$ .

Ćwiczenie 8

Dany jest okrąg o środku w punkcie $C = (- 2, - 3)$ , styczny do prostej o równaniu $y = 3 x - 1$ . Wyznacz równanie jego obrazu w symetrii osiowej względem osi $Y$ .

Długość promienia danego okręgu jest równa odległości punktu $C$ od prostej o równaniu $y = 3 x - 1$ . Przedstawmy to równanie w postaci ogólnej:

$- 3 x + y + 1 = 0$ .

Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej, możemy napisać:

$r = \frac{|- 3 \cdot (- 2) + 1 \cdot (- 3) + 1|}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 1}} = \frac{|6 - 3 + 1|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{10}}$ .

Dany okrąg ma więc równanie:

$x^{2} + y^{2} + 4 x + 6 y + \frac{57}{5} = 0$ .

Okrąg symetryczny względem osi $Y$ ma więc równanie:

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + \frac{57}{5} = 0$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela