Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1dATDEHtjLjj1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Sieczna przecina okrąg o promieniu $r$ w punktach $A$ i $B$ . Promień $r$ jest średnią arytmetyczną odległości $|A B|$ i odległości siecznej od środka okręgu i jest o $1$ dłuższy od odległości siecznej od środka okręgu. Oblicz promień $r$ okręgu.

Oznaczmy przez $d$ odległość siecznej od środka okręgu.

Wtedy: $r = d + 1$ oraz $r = d + 1 = \frac{|A B| + d}{2}$ .

Stąd $|A B| = d + 2$ .

Z twierdzenia Pitagorasa mamy: ${(\frac{|A B|}{2})}^{2} + d^{2} = r^{2}$ , czyli ${(\frac{d}{2} + 1)}^{2} + d^{2} = {(d + 1)}^{2}$ .

Ostatnie równanie można zapisać w postaci $d^{2} = 4 d$ .

Stąd $d = 4$ , $r = 5$ .

Ćwiczenie 3

Na rysunku poniżej przedstawiono trójkąt Reuleaux.

R19KF8BJ6iA5z

Trójkąt Reuleaux to trójkąt powstały z części wspólnej trzech równych okręgów, przy czym okręgi te są położone w ten sposób, że punkt przecięcia dowolnych dwóch jest jednocześnie środkiem trzeciego okręgu. Zatem trójkąt ten składa się z trzech łuków okręgów go tworzących. Rysunek przedstawia trójkąt Reuleaux o wierzchołkach A, B oraz P. Wierzchołki połączono ze sobą trzema odcinkami, przy czym podpisano, że odcinek AB jest długości 2.

R11d04GiskKzg

Ćwiczenie 4

Przeprowadź następującą konstrukcję: z punktu $P$ leżącego na danym okręgu o środku w punkcie $O$ zakreślamy okrąg o promieniu równym promieniowi wyjściowego okręgu. W przecięciu z danym okręgiem otrzymujemy dwa punkty – jeden z nich oznaczamy jako $Q$ . Prowadzimy prostą $O Q$ i na niej odkładamy odcinek $Q R$ , o długości równej długości $O P$ w taki sposób, by $O \neq R$ . Przez punkty $R$ , $P$ prowadzimy prostą. Uzasadnij, że otrzymana prosta $R P$ jest styczną do danego okręgu, przechodząca przez punkt $P$ .

Zauważmy, że trójkąt $O P Q$ jest równoboczny, a kąt zewnętrzny $R Q P$ ma miarę $120 °$ .

Stąd $|∢ Q P R| = 30 °$ oraz $|∢ R P O| = |∢ O P Q| + |∢ Q P R| = 60 ° + 30 ° = 90 °$ . Zatem prosta $R P$ jest styczna do wyjściowago okręgu.

Ćwiczenie 5

Na trójkącie równobocznym $A B C$ opisano okrąg o środku w punkcie $O$ i poprowadzono styczne do tego okręgu w wierzchołkach trójkąta. Styczne te przecięły się parami odpowiednio w punktach $P$ , $Q$ , $R$ . Oblicz promień okręgu, jeżeli $|O P| = 6$ .

R1QrYJVwlILp2

Na rysunku przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. W okrąg wpisano trójkąt ABC i wykreślono promień okręgu, który jest odcinkiem OB. Przez każdy wierzchołek trójkąta wpisanego w okrąg przeprowadzono linią przerywaną prostą styczną w danym punkcie do okręgu. Punkty przecięcia tych prostych również opisano. Punkt przecięcia poziomej prostej przechodzącej przez punkt C oraz ukośnej prostej przechodzącej przez punkt A to punkt Q. Punkt przecięcia ukośnych prostych przechodzących przez punkty A oraz B to punkt R. Punkt przecięcia ukośnej prostej przechodzącej przez punkt B oraz poziomej prostej przechodzącej przez punkt C to punkt P. Ze środka okręgu wyprowadzono linią przerywaną odcinek OP o długości 6.

Zauważmy, że promień $O B$ jest prostopadły do stycznej $P R$ , a odcinek $O P$ zawiera się w dwusiecznej kąta $B P C$ .

Zatem $\sin 30^{\circ} = \frac{|O B|}{6}$ .

Stąd promień jest równy $3$ .

Ćwiczenie 6

Dwie wzajemnie prostopadłe proste są odpowiednio sieczną i styczną do pewnego okręgu. Różnica odległości tych prostych od środka okręgu jest równa $7$ , a odlegość środka okręgu od punktu wspólnego jest równa $17$ . Oblicz promień okręgu. Ułóż w kolejności odpowiednie etapy rozwiązania.

Niech $O$ będzie środkiem okręgu, $P$ punktem wspólnym obu prostych. Oznaczmy przez $r$ długość promienia okręgu.

Niech $S$ będzie punktem, w którym jedna z prostych jest styczna do okręgu.

Wtedy $|O S| = r$ .

Trójkąt $O S P$ jest prostokątny oraz ${|O S|}^{2} + {|S P|}^{2} = {|O P|}^{2}$ .

Zauważmy, że odcinek $S P$ ma długość równą odległości siecznej od środka okręgu.

Zatem $|S P| = r - 7$ . Wynikająca z twierdzenia Pitagorasa równość może być zapisana jako równanie z niewiadomą $r$ :
$r^{2} + (r - 7^{2}) = 17^{2}$ .

Po przekształceniu równanie przyjmuje postać: $2 r^{2} - 14 r - 240 = 0$ .

Rozwiązaniami otrzymanego równania są liczby: $15$ , $- 8$ .

Zatem promień okręgu jest równy $15$ .

R4ez0WLF4uTIQ3

Ćwiczenie 7

Zbadaj wzajemne położenie prostej i okręgu mając dane odległość

d

prostej od środka i promień

r

okręgu. Dopasuj je, łącząc w pary. Prosta jest styczna do okręgu. Możliwe odpowiedzi: 1.

r = \sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} + \sqrt{3}

d = 2

, 2.

r = \sqrt{6} - \sqrt{2} + 3

d = \frac{4}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}

, 3.

r = |3 - 2 \sqrt{2}| + |2 \sqrt{2} - 3|

d = 2

Prosta jest sieczną okręgu. Możliwe odpowiedzi: 1.

r = \sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} + \sqrt{3}

d = 2

, 2.

r = \sqrt{6} - \sqrt{2} + 3

d = \frac{4}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}

, 3.

r = |3 - 2 \sqrt{2}| + |2 \sqrt{2} - 3|

d = 2

Prosta leży poza okręgiem (prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem). Możliwe odpowiedzi: 1.

r = \sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} + \sqrt{3}

d = 2

, 2.

r = \sqrt{6} - \sqrt{2} + 3

d = \frac{4}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}

, 3.

r = |3 - 2 \sqrt{2}| + |2 \sqrt{2} - 3|

d = 2

Zbadaj wzajemne położenie prostej i okręgu mając dane odległość $d$ prostej od środka i promień $r$ okręgu. Dopasuj łącząc w pary.

Prosta jest styczna do okręgu.
Prosta jest sieczną okręgu.
Prosta leży poza okręgiem (prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem).

Ćwiczenie 8

R16dLt8BgFa5L

Dane są trzy proste równoległe $k$ , $l$ , $m$ . Proste te są odpowiednio sieczną, styczną oraz prostą leżącą poza okręgiem. Suma ich odległości od środka okręgu jest równa $36$ . Gdyby promień okręgu zmniejszyć o $3$ , to okrąg byłby styczny do prostej $k$ , a gdyby promień okręgu zwiększyć o $3$ , to okrąg byłby styczny do prostej $m$ . Promień okręgu jest równy:

$9$
$12$
$15$
$18$

Wystarczy zauważyć, że odległości danych prostych od środka okręgu są równe odpowiednio: $r - 3$ , $r$ , $r + 3$ , a ich suma to $3 r$ .

Aplet

Dla nauczyciela