Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Dany jest wykres zależności wartości siły rozciągającej sprężynę od jej wydłużenia:

R16H7dMrYHpXM

Na rysunku przedstawiono prostokątny układ współrzędnych. Oś pionowa skierowana w górę przedstawia siłę, opisaną wielką literą F i w nawiasie kwadratowym wielka litera N, wyrażoną w newtonach. Na osi siły zaznaczono wartości od zera do pięciu newtonów, co jeden newton. Oś pozioma układu skierowana w prawo przedstawia rozciągnięcie, opisane małą literą x i w nawiasie kwadratowym małe litery cm, wyrażone w centymetrach. Na osi rozciągnięcia zaznaczono wartości od zera do dziesięciu centymetrów, co dwa centymetry. W układzie pokazano funkcję narysowaną ciągłą zieloną linią. Funkcja zaczyna się w początku układu współrzędnych i rośnie liniowo. Dla siły o wartości pięciu newtonów rozciągnięcie jest równe dziesięć centymetrów. Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej jest równy jedna druga. — Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

RolPGAtlVcBFA

Oblicz współczynnik sprężystości tej sprężyny. Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Odp.: $k$ = ............ N/m.

Z wykresu odczytujemy dla wydłużenia $x$ = 10 cm = 0,1 m wartości siły rozciągającej to $F$ = 5 N. Stąd $k=F/x$ = 5 N/0,1 m = 50 N/m.

R1IaaE09DpSSs1

Ćwiczenie 2

Jeżeli sprężynę skrócimy o połowę, to współczynnik sprężystości skróconej sprężyny będzie w porównaniu ze sprężyną wyjściową

dwa razy większy.
dwa razy mniejszy.
cztery razy mniejszy.
taki sam.

Ćwiczenie 3

RnTcyQZGXXeB2

Oblicz, o ile wydłuży się pod wpływem siły grawitacji sprężyna o współczynniku sprężystości $k$ = 100 N/m, jeżeli doczepimy do niej ciężarek o masie 200 g. Przyjmij, że przyspieszenie ziemskie to 10 m/s². Wynik podaj z dokładnością do jednej cyfry znaczącej.

Wydłużenie sprężyny wyniesie ............ m.

RWnlGmzZGbico

Rysunek przedstawia ciężarek zawieszony na sprężynie. Do poziomej płaskiej powierzchni przymocowano sprężynę. Sprężynę narysowano w postaci linii łamanej przypominającej harmonijkę. Zamocowany ciężarek na końcu sprężyny pokazano w postaci szarej kulki. Ciężarek ma masę opisaną małą literą m. Do środka ciężarka przyłożono siłę wielka litera F równa iloczynowi jego masy małe m i przyspieszenia grawitacyjnego mała litera g. Siła przedstawiono w postaci pionowej fioletowej strzałki skierowanej w dół. Sprężyna jest rozciągnięta. Rozciągnięcie mała litera x zaznaczono pionową strzałką z grotami na obu końcach. Strzałka opisująca rozciągnięcie wskazuje odległość pomiędzy górnym punktem ciężarka a połową sprężyny. — Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Wartość siły rozciągającej sprężynę jest równa ciężarowi ciała $F=mg$ . Stąd

$kx=mg\Leftrightarrow x=\frac{mg}{k}=\frac{0,2\hspace{2mm}\textrm{kg}\cdot10\hspace{2mm}\frac{\textrm{N}}{\textrm{kg}}}{100\hspace{2mm}\frac{\textrm{N}}{\textrm{m}}}=0,02\hspace{2mm}\textrm{m}.$

R1ADr1ATCGhCf2

Ćwiczenie 4

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Współczynnik sprężystości jest tylko i wyłącznie cechą materiału, z którego wykonano sprężynę. {Prawda}/{#Fałsz}

Współczynnik sprężystości jest wielkością charakteryzującą sprężynę i zależy nie tylko od materiału, ale również od kształtu sprężyny. {#Prawda}/{Fałsz}

Ćwiczenie 5

RF6FhslqFn1oS

Jeżeli wydłużymy sprężynę o współczynniku sprężystości $k$ o $x$ , to musimy użyć siły $F = k x$ . Czy wydłużenie sprężyny o $2 x$ wymaga wykonania dwukrotnie większej pracy, niż o $x$ ?

Przy dwa razy większym wydłużeniu, przemieszczenie spowodowane siłą rozciągająca jest dwukrotnie większe, ale ze wzrostem wydłużenia również rośnie wartość siły. Zatem wykonana praca przy wydłużeniu $2x$ będzie ponad dwa razy większa, niż przy wydłużeniu o $x$ . Dokładniej, uśredniając siłę rozciągająca sprężynę o $x$ , otrzymamy $F_{\acute{s}r}=\frac{0+kx}{2}=\frac{kx}{2}$ . Praca przy wydłużeniu sprężyny o $x$ wyniesie $W=\frac{kx}{2}x=\frac{kx^2}{2}$ . Z otrzymanego wzoru wynika, że dwa razy większe wydłużenie wymaga włożenia cztery razy większej pracy.

Ćwiczenie 6

Wyraź jednostkę współczynnika sprężystości (N/m) w jednostkach podstawowych układu SI.

$[k]=\frac{\text{N}}{\text{m}}=\frac{\text{kg}\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{\text{m}}=\frac{\text{kg}}{\text{s}^2}.$

Ćwiczenie 7

RBTgip1fDyNSd

Rys. 1. Rysunek przedstawia dwie połączone szeregowo sprężyny zamocowane do poziomej płaskiej powierzchni. Sprężyny narysowano łamanymi krzywymi, przypominającymi pionowe harmonijki. Górna sprężyna przymocowana jest do płaski poziomej powierzchni, a dolna sprężyna przymocowana jest do dolnej części górnej sprężyny. Sprężyny są równej długości. Górne i dolne końce sprężyn zaznaczono czarnymi punktami. — Rys. 1. Sprężyny połączone szeregowo
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R9E00cnvOBqkp

Oblicz wydłużenie układu sprężyn o współczynnikach sprężystości

k_{1}

= 200 N/m i

k_{2}

= 100 N/m rozciąganych siłą

F

= 30 N, jeżeli sprężyny te połączymy szeregowo (patrz Rys. 1.). Przyjmij, że masa sprężyn jest pomijalnie mała. Jaki jest współczynnik sprężystości układu tak połączonych sprężyn? Odp.: Wydłużenie układu sprężyn wynosi Tu uzupełnij m, a współczynnik sprężystości układu Tu uzupełnij N/m.

Oblicz wydłużenie układu sprężyn o współczynnikach sprężystości $k_{1}$ = 200 N/m i $k_{2}$ = 100 N/m, rozciąganych siłą $F$ = 30 N, jeżeli sprężyny te połączymy szeregowo (patrz Rys. 1.). Przyjmij, że masy sprężyn są pomijalnie małe. Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Odp.: Wydłużenie układu sprężyn wynosi ............ m.

Wydłużenie $x$ układu sprężyn jest równe sumie wydłużeń obu sprężyn.

R1SLDzgQsl9nd

Rys. 2. Ilustracja podzielona jest na dwie części prawą oraz lewą. Rysunek po lewej przedstawia dwie połączone szeregowo sprężyny przymocowane do poziomej płaskiej powierzchni. Sprężyny narysowano łamanymi krzywymi, przypominającymi pionowe harmonijki. Górna sprężyna przymocowana jest do płaskiej poziomej powierzchni, a dolna sprężyna przymocowana jest do dolnej części górnej sprężyny. Sprężyny są równej długości. Górne i dolne końca sprężyn zaznaczono czarnymi punktami. Prawy rysunek przedstawia dwie połączone szeregowo i rozciągnięte sprężyny przymocowane do poziomej płaskiej powierzchni. Sprężyny narysowano łamanymi krzywymi, przypominającymi pionowe harmonijki. Górna sprężyna przymocowana jest do płaskiej poziomej powierzchni, a dolna sprężyna przymocowana jest do dolnej części górnej sprężyny. Sprężyny są równej długości. Rozciągnięte sprężyny w prawej części ilustracji są dłuższe niż sprężyny na lewym rysunku. Górne i dolne końce sprężyn zaznaczono czarnymi punktami. Do tych punktów przyłożono siły. Siły przyłożone do dolnej i górnej sprężyny mają równe wartości. Siły narysowano w postaci pionowych strzałek skierowanych w dół i opisanych wielkimi literami F. Długości strzałek ilustrujących siły są takie same. Całkowite wydłużenie układów sprężyn równoległych jest sumą wydłużenia obu sprężyn – mała litera x z indeksem dolnym jeden dodać mała litera x z indeksem dolnym dwa. — Rys. 2. Wydłużenie układu sprężyn
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Każda ze sprężyn jest rozciągana tą samą siłą zewnętrzną $F$ . Możemy więc zapisać:

$F=k_{1}x_{1}$

$F=k_{2}x_{2}$

Wyznaczamy z (1) $x_{1}$ : $x_{1}=\frac{F}{k_{1}}=\frac{30\hspace{2mm}\textrm{N}}{200\hspace{2mm}\frac{\textrm{N}}{\textrm{m}}}=0,15\hspace{2mm}\textrm{m}$ i z (2) $x_{2}$ : $x_{2}=\frac{30\hspace{2mm}\textrm{N}}{100\hspace{2mm}\frac{\textrm{N}}{\textrm{m}}}=0,3\hspace{2mm}\textrm{m}$ .

Łączne wydłużenie sprężyn $x=x_{1}+x_{2}$ = 0,15 m + 0,30 m= 0,45 m. Zastępczy współczynnik sprężystości układu $k$ możemy policzyć korzystając ze wzoru $k=F/x$ ≈ 66,7 N/m.

Komentarz: Jak widać współczynnik sprężystości układu sprężyn połączonych szeregowo jest mniejszy niż współczynnik sprężystości każdej ze sprężyn.

Ćwiczenie 8

Poniższy rysunek przedstawia wykresy zależności siły rozciągającej od wydłużenia dla trzech różnych sprężyn.

R1QqWefVUOEUP

Rysunek przedstawia prostokątny układ współrzędnych. Oś pionowa układu skierowana w górę przedstawia siłę wyrażoną w newtonach wielka litera F i w nawiasie kwadratowym wielka litera N. Na osi siły zaznaczono wartości od zera do pięciu newtonów, co jeden newton. Oś pozioma układu skierowana w prawo przedstawia rozciągnięcie wyrażone w centymetrach mała litera x i w nawiasie kwadratowym małe litery cm. Na osi rozciągnięcia zaznaczono wartości od zera do pięciu centymetrów, co jeden centymetr. W układzie pokazano trzy funkcje narysowane ciągłymi liniami. Wszystkie funkcje zaczynają się w początku układu współrzędnych i rosną liniowo. Pierwsza funkcja oznaczona cyfrą jeden narysowana niebieską linią. Współczynnik kierunkowy tej funkcji jest największy, a zatem funkcja rośnie najszybciej. Drugą funkcję oznaczoną cyfrą dwa narysowano kolorem zielonym. Współczynnik kierunkowy tej funkcji jest mniejszy niż funkcji pierwszej, a zatem rośnie ona wolniej. Ostatnią funkcję oznaczoną cyfrą trzy narysowano kolorem czerwonym. Jej współczynnik kierunkowy jest najmniejszy, a zatem przyrost jej wartości jest najwolniejszy. — Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Rq03ePjDLnPDn

Uszereguj sprężyny zgodnie z rosnącym współczynnikiem sprężystości.

$k_{I I I}$ , $k_{I}$ , $k_{I I}$

Odp.: ............ < ............ < ............

Film samouczek

Dla nauczyciela