Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1XbhXo6u5Eyb1

Ćwiczenie 1

Dla równania $x^{2} + x - 9 = 0$ oblicz $∆$ .

$∆ = 8$
$∆ = 37$
$∆ = 64$
$∆ = 100$

R1LHxOjgCh9l71

Ćwiczenie 2

W równaniu $- x^{2} + 2 x + 1 = 0$ określ znak $∆$ .

$∆ > 0$
$∆ = 0$
$∆ < 0$

RHGz6avROvt6m2

Ćwiczenie 3

Dla równania $x^{2} - 12 x + 20 = 0$ oblicz sumę pierwiastków $x_{1} + x_{2}$ .

$x_{1} + x_{2} = - 1$
$x_{1} + x_{2} = 12$
$x_{1} + x_{2} = 2$
$x_{1} + x_{2} = 14$

R1IdQ4vzY7lXZ2

Ćwiczenie 4

Dla równania $- 5 x^{2} + 10 x = 0$ oblicz iloczyn pierwiastków $x_{1} \cdot x_{2}$ .

$x_{1} \cdot x_{2} = - 9$
$x_{1} \cdot x_{2} = - 1$
$x_{1} \cdot x_{2} = 20$
$x_{1} \cdot x_{2} = 0$

RT04EGrmeJkjj2

Ćwiczenie 5

Znajdź sumę i iloczyn pierwiastków równania $x^{2} + 7 x - 450 = 0$ bez ich obliczania.

$x_{1} + x_{2} =$ ............
$x_{1} \cdot x_{2} =$ ............

RPxuqJSSdrkst2

Ćwiczenie 6

Dla równania $- x^{2} + 2 x + 1 = 0$ znajdź iloczyn $∆ \cdot (x_{1} + x_{2})$ .

$∆ \cdot (x_{1} + x_{2}) = 16$
$∆ \cdot (x_{1} + x_{2}) = 12$
$∆ \cdot (x_{1} + x_{2}) = 18$
$∆ \cdot (x_{1} + x_{2}) = 24$

R1eXprelIAaHO2

Ćwiczenie 7

Wstaw poprawną liczbę.

$15$ , $(- 15)$ , $5$ , $10$ , $(- 8)$

Iloczyn miejsc zerowych funkcji kwadratowej $y = - x^{2} - 2 x + 15$ jest równy .............

RxITl8RfUVkwJ2

Ćwiczenie 8

Połącz w pary równania z liczbą będącą sumą pierwiastków tego równania.

$x^{2} + 9 x - 14 = 0$
$x^{2} = 100$
$x^{2} - 1, 5 x - 1 = 0$

Ćwiczenie 9

Rqft7M8XGK8te

Rozważ równanie $(m + 1) x^{2} + (m - 2) x + m = 0$ . Dla jakich wartości parametru $m$ równanie ma dwa różne pierwiastki dodatnie? Wskaż konieczne założenia a następnie podaj odpowiedź.

$\frac{m}{m + 1} < 0$
$m \neq 1$
$m \neq - 1$
$m (m + 1) > 0$
$\frac{m - 2}{m + 1} < 0$
$\frac{m - 2}{m + 1} > 0$
$(m - 2)^{2} - 4 m (m + 1) > 0$
$(m + 1)^{2} - 4 m (m - 2) > 0$

Aby funkcja była trójmianem kwadratowym musimy założyć, że $m \neq - 1$ .

Następnie musimy zadbać żeby równanie miało dwa rozwiązania, tj. aby zachodziła nierówność:

$Δ = {(m - 2)}^{2} - 4 (m + 1) m > 0$

Nierówność tę spełniają parametry:

$m \in (\frac{- 2 \sqrt{7} - 4}{3}, \frac{2 \sqrt{7} - 4}{3})$

Skorzystamy teraz ze wzorów Viete'a. Dla sumy:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{m - 2}{m + 1} > 0$

Nierówność tę spełniają parametry $(- 1, 2)$ . Dla iloczynu:

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{m}{m + 1} > 0$

Nierówność tę spełniają parametry:

$m \in (- \infty, - 1) \cup (0, \infty)$

Wszystkie cztery warunki spełniają parametry:

$m \in (0, \frac{- 4 + 2 \sqrt{7}}{3})$

RbGIlugYbXUxx3

Ćwiczenie 10

Rozważmy równanie: $\sqrt{2} x^{2} - \sqrt{5} x = 1$ . Niech $x_{1}$ , $x_{2}$ będą pierwiastkami tego równania. Połącz w pary wyrażania wraz z ich wartościami.

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$
$x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela