Oznaczmy przez $\alpha$ i $\beta$ miary kątów ostrych tego trójkąta i zapiszmy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}\alpha +\beta +100°=180° |-100°\\ \alpha =3\beta \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3\beta +\beta =80°\\ \alpha =3\beta \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}4\beta =80° |:4\\ \alpha =3\beta \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\beta =20°\\ \alpha =60°\end{array}\right.$

Kąty tego trójkąta mają miary $20°$, $60°$ i $100°$.

Oznaczmy przez $a$ i $b$ długości boków prostokąta i zapiszmy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}b=0,3·2\left(a+b\right)\\ b=a+2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}b=0,6a+0,6b |-0,6b\\ b=a+2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}0,4b=0,6a |:0,4\\ b=a+2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}b=1,5a\\ 1,5a=a+2 |-a\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}b=1,5a\\ 0,5a=2 |·2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}b=6\\ a=4\end{array}\right.$

Znając boki prostokąta możemy obliczyć obwód i pole:

$L=2(a+b)=2(4+6)=2\cdot 10=20$

i 

$P=a·b=4·6=24$.

Obwód prostokąta wynosi $20$, a pole $24$.

Oznaczmy długości boków prostokąta przez $a$ i $b$ i zapiszmy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}\left(a+3\right)\left(b+3\right)=ab+45\\ a-1=b+1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}ab+3a+3b+9=ab+45 |-ab\\ a-1=b+1 |+1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3a+3b+9=45 |-9\\ a=b+2 |-b\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3a+3b=36 |:3\\ a-b=2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a+b=12\\ a-b=2\end{array}\right.$

Gdy dodamy do siebie równania, to otrzymamy $2a=14$, a więc $a=7$, a $b=5$. Zatem

$P=a·b=7·5=35$

i 

$L=2(a+b)=2(7+5)=2\cdot 12=24$.

Pole tego prostokąta jest równe $35$, a obwód $24$.

Oznaczmy przez $a$ długość podstawy $AB$, a przez $b$ długość podstawy $CD$. Ponieważ $\frac{\left|CS\right|}{\left|DC\right|}=\frac{\left|BS\right|}{\left|AB\right|}$, więc $\frac{6}{b}=\frac{12}{a}$, a stąd $6a=12b$.

Zapiszmy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}6a=12b |:6\\ a+b+6+9=48 |-15\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a=2b\\ a+b=33\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a=2b\\ 2b+b=33\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a=2b\\ 3b=33 |:3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a=22\\ b=11\end{array}\right.$

Podstawa $AB$ ma długość $22$, a $CD$ – długość $11$.

R1MWEQUCvH4AJ

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z wierzchołka C przeprowadzono prostą upuszczoną na podstawę AB zaznaczono punkt E, dzieli ona podstawę na pół. Z wierzchołka B wychodzi prosta skierowana na ramię A C. Punkt D dzieli ramię na dwa odcinki CD o długości b oraz A D o długości 3b. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek AS. Punkt S jest przecięciem odcinków CE i B D.

Ponieważ $\left|AD\right|:\left|DC\right|=3:1$, więc istnieje liczba dodatnia $b$ taka, że $\left|CD\right|=b$ i $\left|AD\right|=3b$. Podobnie, ponieważ $\left|AE\right|=\left|EB\right|$, więc istnieje liczba dodatnia $b$ taka, że $\left|AE\right|=\left|EB\right|=a$.

Ponieważ trójkąty $EAS$ i $EBS$ mają takie same podstawy i taką samą wysokość, więc ich pola są równe. Oznaczmy je przez $x$.

Oznaczmy przez $y$ pole trójkąta $DCS$.

Ponieważ podstawa trójkąta $DAS$ jest trzy razy większa od podstawy trójkąta $DCS$, a ich wysokości są równej długoście, więc pole trójkąta $DAS$ jest trzy razy większe od pola trójkąta $DCS$, czyli jest równe $3y$.

Zauważmy, że pole trójkąta $AEC$ jest równe połowie pola trójkąta $ABC$, czyli wynosi $18$. Z drugiej strony, pole trójkąta $AEC$ jest sumą pól trójkątów $EAS$, $DAS$ i $DCS$, stąd
$x+4y=18$.

Pole trójkąta $ABD$ stanowi trzy czwarte pola trójkąta $ABC$, więc jest równe $27$. Z drugiej strony, jest ono sumą pól trójkątów $DAS$, $EAS$ i $EBS$, stąd:
$2x+3y=27$.

Zapiszmy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}x+4y=18 |·\left(-2\right)\\ 2x+3y=27\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-2x-8y=-36\\ 2x+3y=27\end{array}\right.$

Gdy dodamy do siebie równania stronami, to otrzymamy: $-5y=-9$, a stąd $y=\frac{9}{5}$ i $x=18-4·\frac{9}{5}=\frac{54}{5}$.

Pole trójkąta $EBS$ wynosi $\frac{54}{5}$, a pole trójkąta $DCS$ jest równe $\frac{9}{5}$.