Mamy $f\left(x\right)=\frac{2}{x^2}$ oraz $x_0=\frac{1}{2}$.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:

$U\left(h\right)=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{{\displaystyle \frac{2}{{\left(x_0+h\right)}^2}-\frac{2}{{x_0}^2}}}{h}=\frac{{\displaystyle \frac{2·{x_0}^2-2·{\left(x_0+h\right)}^2}{{\left(x_0+h\right)}^2·{x_0}^2}}}{h}=$

$=\frac{{\displaystyle \frac{2{x_0}^2-2·\left({x_0}^2+2x_{0}h+h^2\right)}{{\left(x_0+h\right)}^2·{x_0}^2}}}{h}=\frac{{\displaystyle \frac{-4x_{0}h-2h^2}{{\left(x_0+h\right)}^2·{x_0}^2}}}{h}=\frac{-4x_0-2h}{{\left(x_0+h\right)}^2·{x_0}^2}$

Obliczamy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x^2}$ w punkcie $x_0=\frac{1}{2}$.

$f\text{'}\left(\frac{1}{2}\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{-4·{\displaystyle \frac{1}{2}}-2h}{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}+h\right)}^2·{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}\right)=\frac{-4·{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2·{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}=\frac{-2}{{\displaystyle \frac{1}{16}}}=-32$

Mamy $f\left(x\right)=\frac{2}{x-1}$ oraz $x_0=2$.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:

$U\left(h\right)=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{{\displaystyle \frac{2}{x_0+h-1}-\frac{2}{x_0-1}}}{h}=$

$=\frac{{\displaystyle \frac{2·\left(x_0-1\right)-2·\left(x_0+h-1\right)}{\left(x_0+h-1\right)·\left(x_0-1\right)}}}{h}=\frac{{\displaystyle \frac{2x_0-2-2x_0-2h+2}{\left(x_0+h-1\right)·\left(x_0-1\right)}}}{h}=$

$=\frac{{\displaystyle \frac{-2h}{\left(x_0+h-1\right)·\left(x_0-1\right)}}}{h}=\frac{-2}{\left(x_0+h-1\right)·\left(x_0-1\right)}$

Obliczamy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x^2}$ w punkcie $x_0=2$:

$f\text{'}\left(2\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{-2}{\left(2+h-1\right)·\left(2-1\right)}\right)=\frac{-2}{1}=-2$

Mamy $f\left(x\right)=ax+b$ oraz dany punkt $x_0$.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:

$U\left(h\right)=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\frac{{\displaystyle a·\left(x_0+h\right)+b-\left(a{x}_0+b\right)}}{h}=\frac{{\displaystyle a{x}_0+ah+b-a{x}_0-b}}{h}=\frac{ah}{h}=a$

Obliczamy pochodną funkcji $f\left(x\right)=ax+b$ w punkcie $x_0$:

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\left(a\right)=a$

Zatem pochodna funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=ax+b$ nie zależy od wartości punktu $x_0$ i zawsze wynosi $a$.

Mamy $f\left(x\right)=\left|x+3\right|$ oraz punkt $x_0=-3$.

Obliczamy wartość ilorazu różnicowego funkcji:

$U\left(h\right)=\frac{f\left(-3+h\right)-f\left(-3\right)}{h}=\frac{\left|-3+h+3\right|-\left|-3+3\right|}{h}=\frac{\left|h\right|}{h}$

Obliczamy pochodną funkcji $f\left(x\right)=\left|x+3\right|$ w punkcie $x_0=-3$:

$f\text{'}\left(-3\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left|h\right|}{h}$

Zauważmy, że ta granica nie istnieje, ponieważ granice jednostronne są różne:

$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{\left|h\right|}{h}=\frac{-h}{h}=-1$

$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|h\right|}{h}=\frac{h}{h}=1$

Ponieważ nie istnieje granica ilorazu różnicowego funkcji $f$ w punkcie $x_0$, zatem nie istnieje pochodna funkcji w tym punkcie.