Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1SE6LdPkm3Kq

Suma wartości najmniejszej oraz największej w przedziale $"⟨"- 1, 2"⟩"$ funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ wynosi:

$- 4$
$- 1$
$- 3$

Ćwiczenie 2

R1UsMFv3XcjBW

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem

f (x) = - x^{2} + 2 x + 1

. Połącz w pary podzbiór dziedziny tej funkcji z odpowiadającym mu podzbiorem zbioru wartości.

⟨ - 2, - 1 ⟩

Możliwe odpowiedzi: 1.

⟨ 1, 2 ⟩

, 2.

⟨ - 2, 2 ⟩

, 3.

⟨ - 7, 1 ⟩

, 4.

⟨ - 7, - 2 ⟩

⟨ 0, 2 ⟩

Możliwe odpowiedzi: 1.

⟨ 1, 2 ⟩

, 2.

⟨ - 2, 2 ⟩

, 3.

⟨ - 7, 1 ⟩

, 4.

⟨ - 7, - 2 ⟩

⟨ 0, 3 ⟩

Możliwe odpowiedzi: 1.

⟨ 1, 2 ⟩

, 2.

⟨ - 2, 2 ⟩

, 3.

⟨ - 7, 1 ⟩

, 4.

⟨ - 7, - 2 ⟩

⟨ 2, 4 ⟩

Możliwe odpowiedzi: 1.

⟨ 1, 2 ⟩

, 2.

⟨ - 2, 2 ⟩

, 3.

⟨ - 7, 1 ⟩

, 4.

⟨ - 7, - 2 ⟩

Dana jest funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = - x^{2} + 2 x + 1$ . Połącz w pary podzbiór dziedziny tej funkcji z odpowiadającym mu podzbiorem zbioru wartości.

$"⟨"- 2, - 1"⟩"$
$"⟨"0, 2"⟩"$
$"⟨"0, 3"⟩"$
$"⟨"2, 4"⟩"$

Ćwiczenie 3

RJTixFJ8x2UMf

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie z przedziału $"⟨"- 2, 2"⟩"$ tę liczbę pomniejszoną o jej kwadrat. Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Wartość największa funkcji $f$ wynosi $\frac{1}{4}$ .
Wartość największa funkcji $f$ nie jest przyjmowana w wierzchołku paraboli,na której leży wykres tej funkcji.
Suma wartości najmniejszej funkcji $f$ oraz wartości największej funkcji $f$ wynosi $(- \frac{7}{4})$ .
Wartość najmniejsza tej funkcji wynosi $(- 6)$ .

Ćwiczenie 4

R14VKMWiLbmfB

Pogrupuj własności funkcji określonych za pomocą podanych wzorów. Funkcja określona wzorem

f (x) = x^{2} + x - 2

: Możliwe odpowiedzi: 1. w przedziale

⟨ - 2, 2 ⟩

przyjmuje wartość największą równą

4

, 2. w przedziale

⟨ 0, 2 ⟩

osiąga wartość najmniejszą równą

- 2

, 3. przyjmuje wartość najmniejszą dla

x = - \frac{1}{2}

, 4. w przedziale

⟨ 1, 3 ⟩

przyjmuje wartość największą równą

\frac{1}{4}

, 5. w przedziale

⟨ - 3, - 2 ⟩

przyjmuje wartość najmniejszą równą

0

, 6. przyjmuje wartość największą dla

x = \frac{3}{2}

Funkcja określona wzorem

f (x) = - x^{2} + 3 x - 2

: Możliwe odpowiedzi: 1. w przedziale

⟨ - 2, 2 ⟩

przyjmuje wartość największą równą

4

, 2. w przedziale

⟨ 0, 2 ⟩

osiąga wartość najmniejszą równą

- 2

, 3. przyjmuje wartość najmniejszą dla

x = - \frac{1}{2}

, 4. w przedziale

⟨ 1, 3 ⟩

przyjmuje wartość największą równą

\frac{1}{4}

, 5. w przedziale

⟨ - 3, - 2 ⟩

przyjmuje wartość najmniejszą równą

0

, 6. przyjmuje wartość największą dla

x = \frac{3}{2}

Pogrupuj własności funkcji określonych za pomocą podanych wzorów.

w przedziale <math><mfenced open="⟨" close="⟩"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced></math> przyjmuje wartość największą równą <math><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></math>, w przedziale <math><mfenced open="⟨" close="⟩"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced></math> przyjmuje wartość najmniejszą równą <math><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced></math>, w przedziale <math><mfenced open="⟨" close="⟩"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced></math> przyjmuje wartość najmniejszą równą <math><mn>0</mn></math>, przyjmuje wartość największą dla <math><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></math>, przyjmuje wartość najmniejszą dla <math><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math>, w przedziale <math><mfenced open="⟨" close="⟩"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced></math> przyjmuje wartość największą równą <math><mn>4</mn></math>

Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = x^{2} + x - 2$ :
Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f (x) = - x^{2} + 3 x - 2$ :

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 2$ .

R1dcsBX7cPjmk

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę, której wierzchołek znajduje się w punkcie -2;3, a ramiona skierowane są w dół. Wykres funkcji przecina oś X w punkcie x, równa się, minus pięć, oraz x, równa się, jeden.

R1EhUTyBn2mum

Wstaw w puste miejsca odpowiednie liczby.

$1$ , $4$ , $3$ , $2$ , $8$

Wartość najmniejsza funkcji $f$ w przedziale $"⟨"- 4, - 1"⟩"$ wynosi .............
Wartość największa funkcji $f$ w przedziale $"⟨"- 6, 0"⟩"$ wynosi .............
Iloczyn wartości najmniejszej oraz wartości największej funkcji $f$ w przedziale $"⟨"- 3, 0"⟩"$ wynosi .............

Ćwiczenie 6

R1FPSlcMdNS5i

Wpisz w tekst odpowiednie liczby.

Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f (x) = x^{2} - 3$ .
Wartość najmniejsza funkcji $f$ w przedziale $"⟨"- 4, - 1"⟩"$ wynosi .............
Wartość największa funkcji $f$ w przedziale $"⟨"- 1, 2"⟩"$ wynosi .............
Wartość najmniejsza funkcji $f$ w przedziale $"⟨"- 3, 1"⟩"$ wynosi .............

Ćwiczenie 7

Wiadomo, że funkcja kwadratowa $f$ dla $x = \frac{1}{2}$ przyjmuje wartość najmniejszą.

Wyznacz wartości współczynników $b$ i $c$ we wzorze tej funkcji kwadratowej, jeżeli funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = x^{2} + b x + c$ , a wyróżnik $∆ = 49$ .

Funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $x = \frac{1}{2}$ , zatem $x = p$ .

Wartość współczynnika $b$ obliczymy ze wzoru $p = - \frac{b}{2 a}$ .

Zatem $\frac{1}{2} = - \frac{b}{2}$ , więc $b = - 1$ .

Korzystając ze wzoru na wyróżnik $∆ = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$ , rozwiązujemy równanie w celu wyznaczenia wartości $c$ .

Zatem $49 = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c$ , czyli $c = - 12$ .

Ćwiczenie 8

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ . Najmniejsza wartość funkcji $f$ jest równa $- 2$ oraz $f (- 1) = f (3) = 2$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ .

Jeżeli $f (- 1) = f (3) = 2$ , to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ wynosi

$p = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ , więc $f (1) = - 2$ .

Zatem $\frac{- b}{2 a} = 1$ , czyli $b = - 2 a$ .

Wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci: $f (x) = a x^{2} - 2 a x + c$ .

Do wyznaczenia wartości współczynników $a, b, c$ rozwiązujemy układ równań:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} b = - 2 a \\ 2 = a + 2 a + c \\ - 2 = a - 2 a + c \end{cases} \end{array}$ .

Z układu równań otrzymujemy, że: $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = - 1$ .

Wzór funkcji $f$ zapisujemy w postaci $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ .

Aplet

Dla nauczyciela