Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1LXP0ju3BURx1

Ćwiczenie 1

Wykres zależności współrzędnej prędkości od czasu w ruchu harmonicznym opisuje zależność:

$v (t) = 0, 1 m / s cos (π t / s)$

Uzupełnij zdanie wpisując odpowiednie wartości.

Odpowiedź: Maksymalna wartość prędkości jest równa ............ m/s, a częstotliwość ............ Hz.

R15oj2CeJeoR92

Ćwiczenie 2

Uczniowie omawiali zmiany prędkości w ruchu harmonicznym. Wskaż, które z poniższych stwierdzeń są poprawne.

Maksymalna wartość prędkości nie zależy od amplitudy.
Maksymalna wartość prędkości jest wprost proporcjonalna do amplitudy i częstotliwości drgań.
Prędkość osiąga maksymalną wartość przy przejściu ciała przez położenie równowagi.
Prędkość jest równa zeru przy maksymalnym wychyleniu ciała z położenia równowagi.

Ćwiczenie 3

R1arir0ShFs9d

Ciężarek zawieszony na sprężynie porusza się ruchem harmonicznym z amplitudą $A$ = 5 cm i częstotliwością $f$ = 2 Hz. Ile wynosi maksymalna wartość prędkości tego ciężarka? Wynik podaj w m/s z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Odpowiedź: ............ m/s

v_{m a x} = ω A

ω = 2 π f = 2 \cdot 3, 14 \cdot 2 \frac{1}{s} = 12, 56 \frac{1}{s}

v_{m a x} = 0, 05 m \cdot 12, 56 \frac{1}{s} = 0, 63 \frac{m}{s}

Rg2nuzCCA7Ucy1

Ćwiczenie 4

Faza początkowa drgań harmonicznych o okresie 2 s jest równa $π$ /2 radianów. Po jakim najkrótszym czasie od początku ruchu wartość prędkości będzie maksymalna?

2 s
1,5 s
1 s
0,5 s

RkEKS3nnCPkjs2

Ćwiczenie 5

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Ćwiczenie 6

Rysunki przedstawiają trzy położenia ciężarka zawieszonego na sprężynie, poruszającego się ruchem harmonicznym o fazie początkowej równej zero, tj. startuje z położenia równowagi w chwili 0 z prędkością zgodną ze zwrotem osi OX.

RjsA9SyxfTok3

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Które punkty na poniższym wykresie zależności współrzędnej prędkości od czasu odpowiadają tym położeniom ciężarka?

RxBU6RzLDJdpk

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

RQME8880WfH4x

Wpisz odpowiednie litery w puste miejsca: 1............, 2............, 3............

R1N8iBqIgTCiX

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Uczniowie analizowali wykresy zależności opisujących ruch oscylatora harmonicznego za pomocą arkusza kalkulacyjnego. Utworzyli wykresy zależności wychylenia i współrzędnej prędkości od czasu (wykresy A i B na rysunku) dla fazy początkowej równej zero oraz wykres zależności współrzędnej prędkości od wychylenia, tzw. wykres fazowy (C).

RnHD7PmdFNoBJ

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Czy i jak wpłynie na te wykresy zmiana fazy początkowej na $φ = \frac{π}{2}$ ?

Zmienią się wykresy A i B. Zostaną przesunięte w lewo o 1/4 okresu. Wykres C nie ulegnie zmianie. Zwróć uwagę na to, że wykres C przedstawia elipsę - gdyby jednostki na osiach położenia i współrzędnej prędkości były w tej samej skali, okrąg byłby odpowiednio rozciągnięty. W ogólności wynik ten można zobaczyć korzystając z tzw. jedynki trygonometrycznej. Weźmy

x (t) = A sin (ω t + φ),

wtedy

v_{x} (t) = A ω cos (ω t + φ) .

Dzieląc oba wzory (przez amplitudę i amplitudę prędkości odpowiednio) zostajemy po prawej stronie z funkcjami sinus i cosinus tego samego argumentu. Suma ich kwadratów zawsze wynosi jeden, więc

{(\frac{x (t)}{A})}^{2} + {(\frac{v_{x} (t)}{A ω})}^{2} = 1 .

We współrzędnych (położenie, prędkość) jest to równanie elipsy.

Ćwiczenie 7

Znajdź zależność współrzędnej prędkości od położenia w ruchu harmonicznym. Jaki kształt ma wykres tej zależności w układzie współrzędnych położenie – prędkość?

Ćwiczenie 8

R1VDO6kZcqL1L

Ciało porusza się ruchem harmonicznym. Okres drgań $T$ = 0,8 s, amplituda $A$ = 0,2 m, faza początkowa jest równa zero. Oblicz wartość prędkości tego ciała po czasie $t$ = 1 s od rozpoczęcia ruchu.

Odpowiedź: ............ m/s

Zauważmy, że $t = 1\,\text{s} = 0,8\,\text{s} + 0,2\,\text{s}$ , co oznacza, że jest to $1\frac{1}{4}$ okresu drgań. W chwili początkowej ciało było w położeniu równowagi i miało niezerową prędkość (to wynika z warunku zerowości fazy początkowej), zatem po $\frac{1}{4}$ okresu prędkość ma wartość zero. A z okresowości ruchu wnioskujemy, że dla dowolnego naturalnego $n$ prawdą jest, że $v_x(nT + \frac{1}{4}T) = 0$ .

Można to sprawdzić bezpośrednim rachunkiem. Zależność współrzędnej prędkości od czasu dla fazy początkowej równej zero opisuje równanie $v_x(t) = A\omega\cos\omega t$ . Częstość kołowa drgań wynosi $\omega = 2\pi/T = 5\pi/2\,\text{rad/s}$ . Zatem w chwili $t = 1\,\text{s}$ współrzędna prędkości wynosi

$\displaystyle v_x(1\,\text{s}) = \frac{5\pi}{2}\cdot 0,2\,\text{m}\cdot \cos\left(\frac{5\pi}{2}\cdot 1\right) = 0\ ,$

ponieważ $\cos(5\pi/2) = \cos(\pi/2) = 0$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela