Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1E8n0NafjgOb

R1eTIh5erdbvJ

Ilustracja przedstawia dwie proste przechodzące przez punkt wspólny O. Na jednej prostej leżą , po przeciwnych stronach puntu środkowego O punkty C i D , a na drugiej punkty A i B w takim samym układzie. Przez punkty A i C oraz D i B przechodzą odpowiednio dwie proste , równoległe do siebie. Odcinek AO ma długość 9 , odcinek CO ma długość 6 , odcinek OD ma długość 10 a odcinek OB ma długość x. Możliwe odpowiedzi: 1.

x = \frac{75}{8}

, 2.

x = \frac{25}{4}

, 3.

x = 9

, 4.

x = 15

, 5.

x = 4 \frac{2}{3}

Ilustracja przedstawia dwie proste odchodzące ze wspólnego punktu O. Na jednej prostej leżą punkty C i D a na drugiej A i B . Kolejne dwie proste równoległe do siebie przechodzą odpowiednio przez punkty C i A oraz D i B. Odcinek OC ma długość 6 , odcinek CD ma długość 4, odcinek OA ma długość 7 a odcinek AB ma długość x. Możliwe odpowiedzi: 1.

x = \frac{75}{8}

, 2.

x = \frac{25}{4}

, 3.

x = 9

, 4.

x = 15

, 5.

x = 4 \frac{2}{3}

Ilustracja przedstawia dwie proste odchodzące ze wspólnego punktu O. Na jednej prostej leżą punkty C i D a na drugiej A i B . Kolejne dwie proste równoległe do siebie przechodzą odpowiednio przez punkty C i A oraz D i B. Odcinek CA ma długość 5 , odcinek OA na długość 8 , odcinek AB ma długość 7 a odcinek DB ma długość x. Możliwe odpowiedzi: 1.

x = \frac{75}{8}

, 2.

x = \frac{25}{4}

, 3.

x = 9

, 4.

x = 15

, 5.

x = 4 \frac{2}{3}

Ilustracja przedstawia dwie proste przechodzące przez punkt wspólny O. Na jednej prostej leżą , po przeciwnych stronach puntu środkowego O punkty C i D , a na drugiej punkty A i B w takim samym układzie. Przez punkty A i C oraz D i B przechodzą odpowiednio dwie proste , równoległe do siebie. Odcinek OC ma długość 6 , odcinek AC ma długość x, odcinek OD ma długość 14 a odcinek DB ma długość 21. Możliwe odpowiedzi: 1.

x = \frac{75}{8}

, 2.

x = \frac{25}{4}

, 3.

x = 9

, 4.

x = 15

, 5.

x = 4 \frac{2}{3}

Ilustracja przedstawia dwie proste odchodzące ze wspólnego punktu O. Na jednej prostej leżą punkty C i D a na drugiej A i B . Kolejne dwie proste równoległe do siebie przechodzą odpowiednio przez punkty C i A oraz D i B. Odcinek OC ma długość x , odcinek CD ma długość 10, odcinek OA ma długość 5 a odcinek AB ma długość 8. Możliwe odpowiedzi: 1.

x = \frac{75}{8}

, 2.

x = \frac{25}{4}

, 3.

x = 9

, 4.

x = 15

, 5.

x = 4 \frac{2}{3}

Ćwiczenie 2

Na dwóch prostych przecinających się w punkcie $O$ zaznaczono $8$ punktów jak na poniższym rysunku. Sformułowaliśmy kilka zdań odnoszących się do oznaczeń i sytuacji na rysunku.

RDiQ0ZJidXc6n

Grafika przedstawia dwie proste przecinające się w punkcie O. Na jednej prostej leża punkty: G na lewo od punktu O oraz D, E i F na prawo od tego punktu. Na drugiej prostej na lewo od punku O lezy punkt H a na prawo punkty A, B i C.

Rbi6HLqk3O8Ly

Łączenie par. . Jeżeli

|A B| : |D E| = |B C| : |E F|

to odcinki

A D

B E

są równoległe.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli

|O B| : |O D| = |O C| : |O F|

to odcinki

B D

C F

są równoległe.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli

|O A| \cdot |O E| = |O C| \cdot |O D|

to odcinki

A D

C E

są równoległe.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli

|O A| : |O G| = |O D| : |O H|

to odcinki

A D

G H

są równoległe.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

RqgZDvTxTC0PH2

Ćwiczenie 3

Uzupełnij luki w podanych zdaniach wybierając określenie „jest równoległa” lub „nie jest równoległa”. Linia łącząca środki boków trójkąta 1. jest równoległa, 2. jest równoległa, 3. nie jest równoległa, 4. nie jest równoległa, 5. jest równoległa, 6. nie jest równoległa do trzeciego boku.
Linia łącząca środki ramion trapezu 1. jest równoległa, 2. jest równoległa, 3. nie jest równoległa, 4. nie jest równoległa, 5. jest równoległa, 6. nie jest równoległa do podstawy trapezu.
Punkt

P

dzieli bok

A B

trójkąta w stosunku

1 : 3

, a punkt

Q

dzieli bok

A C

trójkąta w stosunku

3 : 1

. Wówczas linia łącząca punkty

P

Q

1. jest równoległa, 2. jest równoległa, 3. nie jest równoległa, 4. nie jest równoległa, 5. jest równoległa, 6. nie jest równoległa do boku

B C

Ćwiczenie 4

Przy oznaczeniach jak na rysunku poniżej wykaż, że jeśli $|A B| = 7, 2$ ; $|A C| = 10, 8$ ; $|A D| = 8, 4$ i $|D E| = 4, 2$ , to proste $k$ , $l$ są równoległe.

R1Hw321Ncnuev

Ilustracja przedstawia dwie półproste odchodzące ze wspólnego punktu A. Na jednej półprostej leżą punkty B i C a na drugiej D i E . Kolejne dwie proste namalowane liniami przerywanymi, które są równoległe do siebie przechodzą odpowiednio prostka k przez punkty B i D oraz prosta l przez punkty C i E.

Skorzystaj z poniższego pola, aby zapisać etapy dowodu.

R8UwcAd0Okuz2

$|A B| : |A C| = \frac{7, 2}{10, 8} = \frac{2}{3}$

$|A D| : |A E| = \frac{|A D|}{|A D| + |D E|} = \frac{8, 4}{8, 4 + 4, 2} = \frac{8, 4}{12, 6} = \frac{2}{3}$ .

Stąd $|A B| : |A C| = |A D| : |A E|$ , więc na mocy odwrotnego twierdzenia Talesa proste $k$ , $l$ są równoległe.

Ćwiczenie 5

Punkty $D$ , $E$ , $F$ dzielą boki trójkąta, odpowiednio $A C$ , $B C$ i $A B$ , w stosunku $2 : 1$ , jak pokazano na poniższym rysunku

R1IUOM2T8W6U1

Grafika przedstawia trójkąt ABC. Na boku AC leży punkty D , na boku AB leży punkt F a na boku BC leży punkt E. Odcinki DE oraz DF oznaczono przerywanymi czerwonymi liniami.

Udowodnij, że czworokąt $B E D F$ jest równoległobokiem.

Skorzystaj z poniższego pola, aby zapisać dowód.

R1boL9kcmCFDr

Obliczmy $|C E| : |C D| = \frac{\frac{1}{3} \cdot |C B|}{\frac{1}{3} \cdot |C A|} = \frac{|C B|}{|C A|}$ . Z tej równości wynika, że odcinek $D E$ jest równoległy do $A B$ .

Podobnie, $|A F| : |A D| = \frac{\frac{2}{3} \cdot |A B|}{\frac{2}{3} \cdot |A C|} = \frac{|A B|}{|A C|}$ . Z tej równości wynika, że odcinek $D F$ jest równoległy do $C B$ .

Zatem czworokąt $B E D F$ jest równoległobokiem.

Ćwiczenie 6

Wykaż, że czworokąt, którego wierzchołkami są środki boków czworokąta wypukłego jest równoległobokiem.

Skorzystaj z poniższego pola, aby zapisać etapy dowodu.

R1JrslfLMG1Gl

Zapoznaj się z rysunkiem.

R1chxilV1wQhm

Grafika przedstawia czworokąt ABCD. Punkt E leży na środku boku AB, punkt F na środku boku BC , punkt G na środku boku CD a punkt H na środku boku AD. Odcinki BD,EH i FG oznaczono przerywanymi liniami czerwonymi a odcinki AC,EF i HG przerywanymi liniami pomarańczowymi.

Korzystając z własności linii środkowej w trójkącie dostajemy, że $E F$ i $H G$ są równoległe do przekątnej $A C$ czworokąta. Podobnie, $F G$ i $E H$ są równoległe do przekątnej $B D$ . To dowodzi, że czworokąt $E F D H$ jest równoległobokiem.

Ćwiczenie 7

Na poniższym rysunku przedstawiony jest ośmiokąt foremny. Wykaż, że $B C ∥ A D$ .

R14xJIkVssW3j

Grafika przedstawia ośmiokąt foremny ABCDEFGH. Odcinek AD oznaczony jest czerwoną linią.

Skorzystaj z poniższego pola, aby zapisać etapy dowodu.

R19LGZo6j1nci

Z własności ośmiokąta foremnego wynika, że $∢ A B C = ∢ D C B = 135 °$ . Niech punkt $O$ będzie punktem przecięcia prostych $A B$ i $C D$ jak na poniższym rysunku.

R7eHuEcMlKFUl

Grafika przedstawia ośmiokąt foremny ABCDEFGH. Odcinek AD oznaczony jest czerwoną linią. Przez boki AB i DC przechodzą przerywane linia niebieskie będące ich przedłużeniem i krzyżujące się w punkcie O.

Wtedy $∢ O B C = ∢ O C B = 45 °$ , więc trójkąt $O B C$ jest równoramienny i $|O B| = |O C|$ . Ponadto, boki $A B$ i $C D$ mają równe długości.

Stąd $\frac{|O C|}{|O D|} = \frac{|O C|}{|O C| + |C D|} = \frac{|O B|}{|O B| + |B A|} = \frac{|O B|}{|O A|}$ i z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że $B C ∥ A D$ .

Ćwiczenie 8

Pokaż, że dwie proste o równaniach $y = a x + b$ i $y = a x + c$ , gdzie $b$ , $c \neq 0$ są równoległe.

Skorzystaj z poniższego pola, aby zapisać etapy dowodu.

R4wEjSkat73ux

Ponieważ $b$ , $c \neq 0$ , to proste nie przechodzą przez początek układu współrzędnych.

Jeżeli $a = 0$ , to proste są równoległe do osi $X$ , więc są równoległe.

Jeśli $a \neq 0$ , to te proste przecinają osie układu współrzędnych. Niech więc osie układu współrzędnych pełnią rolę przecinających się prostych w odwrotnym twierdzeniu Talesa.

Niech prosta $y = a x + b$ przecina osie układu $X$ , $Y$ w punktach $A$ , $B$ , a prosta $y = a x + c$ w punktach $C$ , $D$ .

Wtedy $A = (0, b)$ , $B = (\frac{- b}{a}, 0)$ , $C = (0, c)$ , $D = (\frac{- c}{a}, 0)$ oraz $\frac{|O A|}{|O C|} = \frac{b}{c}$ , $\frac{|O B|}{|O D|} = \frac{\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = \frac{b}{c}$ .

Z równości tych proporcji wynika równoległość prostych.

Aplet

Dla nauczyciela