Łączenie par. Wiadomo, że $\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$, gdzie $\overrightarrow{AB}$ nie jest wektorem zerowym, zaś $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.. dla $a=2$ punkt $P$ należy do. Możliwe odpowiedzi: , . dla $a=-2$ punkt $P$ należy do. Możliwe odpowiedzi: , . dla $a=-\frac{1}{2}$ punkt $P$ należy do. Możliwe odpowiedzi: , . dla $a=\frac{1}{2}$ punkt $P$ należy do. Możliwe odpowiedzi: ,

Łączenie par. Wiadomo, że $\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$, gdzie $\overrightarrow{AB}$ nie jest wektorem zerowym, zaś $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.. dla każdego $a\in (1,2)$ punkt $P$ należy do. Możliwe odpowiedzi: , . dla każdego $a\in (-2,-1)$ punkt $P$ należy do. Możliwe odpowiedzi: , . dla każdego $a\in (\frac{1}{3},\frac{1}{2})$ punkt $P$ należy do. Możliwe odpowiedzi: , . dla każdego $a\in (-\frac{1}{2},-\frac{1}{3})$ punkt $P$ należy do. Możliwe odpowiedzi: ,

Wiadomo, że $\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$, gdzie $\overrightarrow{AB}$ jest niezerowym wektorem, zaś $a$ jest liczbą rzeczywistą należącą do przedziału $⟨0,1⟩$. Jaką figurę tworzy zbiór wszystkich punktów $P$, spełniających podany warunek? Moliwe odpowiedzi: a) Odcinek od $A$ do $B$ bez punktów $A$ i $B$; b) Odcinek od $A$ do $B$ wraz z punktami $A$ i $B$; c) Odcinek od $A$ do $B$ wraz z punktem $B$, ale bez punktu $A$; d) Odcinek od $A$ do $B$ wraz z punktem $A$, ale bez punktu $B$.

$\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$, $a\in ⟨0,2⟩$ Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek o długości $4$, którego środkiem jest punkt $B$., 2. Odcinek o długości $4$, którego środkiem jest punkt $A$., 3. Odcinek o długości $4$, którego końcem jest punkt $A$., 4. Odcinek o długości $4$, którego początkiem jest punkt $B$. $\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$, $a\in ⟨-1,1⟩$ Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek o długości $4$, którego środkiem jest punkt $B$., 2. Odcinek o długości $4$, którego środkiem jest punkt $A$., 3. Odcinek o długości $4$, którego końcem jest punkt $A$., 4. Odcinek o długości $4$, którego początkiem jest punkt $B$. $\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$, $a\in ⟨-2,0⟩$ Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek o długości $4$, którego środkiem jest punkt $B$., 2. Odcinek o długości $4$, którego środkiem jest punkt $A$., 3. Odcinek o długości $4$, którego końcem jest punkt $A$., 4. Odcinek o długości $4$, którego początkiem jest punkt $B$. $\overrightarrow{AP}=a·\overrightarrow{AB}$, $a\in ⟨1,3⟩$ Możliwe odpowiedzi: 1. Odcinek o długości $4$, którego środkiem jest punkt $B$., 2. Odcinek o długości $4$, którego środkiem jest punkt $A$., 3. Odcinek o długości $4$, którego końcem jest punkt $A$., 4. Odcinek o długości $4$, którego początkiem jest punkt $B$.

Elementy do uszeregowania: 1. Ponieważ $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0}$ oraz $\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{0}$ , więc powyższe równanie przyjmuje postać $2\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$, 2. Najpierw zauważmy, że przy oznaczeniach jak na rysunku prawdziwe są równości $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}$, $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CQ}$, 3. Ponieważ wektory $\overrightarrow{PQ}$ i $\overrightarrow{AB}$ również sa równoległe to suma długości wektorów $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{DC}$ jest równa dwukrotności długości wektora $\overrightarrow{PQ}$, równoważnie długość wektora $\overrightarrow{PQ}$ jest równa połowie sumy długości wektorów $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{DC}$, co kończy dowód., 4. Po dodaniu powyższych równań stronami otrzymujemy równanie $2\overrightarrow{PQ}=(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PD})+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})+(\overrightarrow{BQ}+\overrightarrow{CQ})$, 5. Stąd wynika $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(a+1)\overrightarrow{DC}$, co oznacza, że wektory $\overrightarrow{PQ}$ i $\overrightarrow{DC}$ są równoległe., 6. Ponieważ wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{DC}$ są równoległe i mają zgodne zwroty, więc istnieje taka liczba dodatnia $a$, że $\overrightarrow{AB}=a·\overrightarrow{DC}$, zatem ostatnia równość jest równoważna $2\overrightarrow{PQ}=a·\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}=(a+1)\overrightarrow{DC}$., 7. Pozostaje tylko pokazać zależność między długościami podstaw i odcinka łączącego środki ramion.

Uzupełnij luki. Przy oznaczeniach jak na rysunku 1. skąd wynika, że wektory, 2. zachodzą równości, 3. co kończy dowód, 4. są równoległe, 5. jest połową długości wektora, 6. długość wektora $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{EB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$.
Zatem $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$,
czyli $\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, 1. skąd wynika, że wektory, 2. zachodzą równości, 3. co kończy dowód, 4. są równoległe, 5. jest połową długości wektora, 6. długość wektora $\overrightarrow{DE}$ i $\overrightarrow{AB}$ 1. skąd wynika, że wektory, 2. zachodzą równości, 3. co kończy dowód, 4. są równoległe, 5. jest połową długości wektora, 6. długość wektora oraz 1. skąd wynika, że wektory, 2. zachodzą równości, 3. co kończy dowód, 4. są równoległe, 5. jest połową długości wektora, 6. długość wektora $\overrightarrow{DE}$ 1. skąd wynika, że wektory, 2. zachodzą równości, 3. co kończy dowód, 4. są równoległe, 5. jest połową długości wektora, 6. długość wektora $\overrightarrow{AB}$ , 1. skąd wynika, że wektory, 2. zachodzą równości, 3. co kończy dowód, 4. są równoległe, 5. jest połową długości wektora, 6. długość wektora.