Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1W3DQi4m6B5f

R1VO5sGPwxuSH

Ćwiczenie 2

W graniastosłupie pięciokątnym zaznaczone zostały pewne odcinki.

R1A2WmYzWAJFW

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pięciokątny pochylony ku lewej stronie. Wierzchołki dolnej podstawy oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do E, natomiast wierzchołki górnej podstawy wielkimi literami od F do J. Odpowiednio nad literą A znajduje się litera F, nad literą B litera G, nad literą C litera H, nad literą D litera I, nad literą E litera J. Zaznaczono również punkt K, znajdujący się w miejscu przecięcia przedłużenia odcinka CD z prostą opuszczoną z wierzchołka I. Wierzchołek I jest punktem najbardziej wysuniętym ku lewej stronie.

R19KpRW6gULBg

A F

Możliwe odpowiedzi: 1. krawędź boczna, 2. wysokość graniastosłupa, 3. przekątna ściany bocznej, 4. przekątna graniastosłupa, 5. przekątna podstawy

B E

Możliwe odpowiedzi: 1. krawędź boczna, 2. wysokość graniastosłupa, 3. przekątna ściany bocznej, 4. przekątna graniastosłupa, 5. przekątna podstawy

C I

Możliwe odpowiedzi: 1. krawędź boczna, 2. wysokość graniastosłupa, 3. przekątna ściany bocznej, 4. przekątna graniastosłupa, 5. przekątna podstawy

D FG

Możliwe odpowiedzi: 1. krawędź boczna, 2. wysokość graniastosłupa, 3. przekątna ściany bocznej, 4. przekątna graniastosłupa, 5. przekątna podstawy

I K

Możliwe odpowiedzi: 1. krawędź boczna, 2. wysokość graniastosłupa, 3. przekątna ściany bocznej, 4. przekątna graniastosłupa, 5. przekątna podstawy

przekątna ściany bocznej, przekątna podstawy, wysokość graniastosłupa, przekątna graniastosłupa, krawędź boczna

$A F$
$B E$
$C I$
$D G$
$I K$

Ćwiczenie 3

RzUBtf720kblJ

Z poniższych zdań wybierz zdania prawdziwe.

Przekątna każdego graniastosłupa jest dłuższa od wysokości tego graniastosłupa.
Jeśli krawędź podstawy graniastosłupa pochyłego o podstawie kwadratu jest równa długości krawędzi bocznej, to wszystkie przekątne ścian bocznych są sobie równe.
Wszystkie przekątne graniastosłupa prawidłowego są sobie równe.
Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnych graniastosłupa.

Ćwiczenie 4

Graniastosłup na rysunku jest prawidłowy, w którym wysokość jest dłuższa od krawędzi podstawy. Ustaw odcinki $a, b, c, d, e$ w kolejności malejącej długości.

RIQmE3G4vfi4N

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny, w którym wysokość jest dłuższa od krawędzi podstawy. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast wierzchołki górnej podstawy, wielkimi literami z symbolem prim. Odpowiednio nad literą A, znajduje się litera A z symbolem prim, nad literą B znajduje się litera z symbolem prim, i tak dalej. Zaznaczono odcinki. Odcinek oznaczony literą a, łączy wierzchołek B z wierzchołkiem D. Odcinek oznaczony literą b, łączy wierzchołek A z wierzchołkiem C prim. Odcinek oznaczony literą c, stanowi krawędź CD. Odcinek oznaczony literą d, łączy wierzchołek B prim z wierzchołkiem E prim. Odcinek oznaczony literą e, łączy wierzchołek B z wierzchołkiem F prim.

R1Ae8PYxuibwc

Ćwiczenie 5

Graniastosłup na rysunku jest prawidłowy.

R1ORFvPVLHAlH

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wierzchołki dolnej podstawy oznaczono literami od A do D, natomiast wierzchołki górnej podstawy literami od E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, nad B wierzchołek F, nad wierzchołkiem C wierzchołek G, oraz nad wierzchołkiem D wierzchołek C. Literą S oznaczono środek dolnej podstawy. W graniastosłupie zaznaczono odcinki BH, SH oraz DH.

Rsf3NI4yjxZSG

Ćwiczenie 6

W podstawie graniastosłupa prostego znajduje się trapez równoramienny $A B C D$ . Na rysunku zaznaczono wszystkie przekątne tego graniastosłupa.

RzkCgbvaCh1LV

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty, w którego podstawie znajduje się trapez równoramienny. Dolna podstawę oznaczono literami od A do D, natomiast górną literami od E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F i tak dalej. W graniastosłupie zaznaczono przekątne AG, BH, CE, DF.

R1CE69YDTUOtC

Ćwiczenie 7

R15up2KUUPSlY

Ile przekątnych graniastosłupa ma graniastosłup o podstawie dziesięciokąta?

$10$
$70$
$140$
$90$

Ćwiczenie 8

Uzasadnij, że w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym trójkąt, którego bokami są przekątne graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka i krawędź podstawy, jest trójkątem prostokątnym.

Szkicujemy rysunek pomocniczy.

R18s7mjjIQ41g

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Podstawę oznaczono literami od A do F, natomiast wierzchołki górnej podstawy literami od A do F z symoblem prim. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek A prim, nad wierzchołkiem B wierzchołek B prim i tak dalej. W graniastosłupie zaznaczono trójkąt. Jego ramiona oznaczono małymi literami d. Litera d z indeksem dolnym jeden, stanowi przekątną B E prim, natomiast przekątna d z indeksem dolnym dwa stanowi przekątną B F prim. Podstawę zaznaczonego trójkąta oznaczono małą literą a. Jest ona krawędzią E prim F prim. Zaznaczono również wysokość graniastosłupa wielką literą H.

Wyrazimy długości $d_{1}$ i $d_{2}$ za pomocą $a$ oraz $H$ . Skorzystamy w tym celu z trójkątów prostokątnych, których bokami są przekątne graniastosłupa, przekątne podstawy i wysokość graniastosłupa.

RHwu7hqa3TyEQ

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy o podstawie sześciokąta, którego bok wynosi a. Podstawę oznaczono literami od A do F, natomiast wierzchołki górnej podstawy literami od A do F z symoblem prim. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek A prim, nad wierzchołkiem B wierzchołek B prim i tak dalej. W graniastosłupie zaznaczono trójkąt. Jego ramiona oznaczono małymi literami d. Litera d z indeksem dolnym jeden, stanowi przekątną B E prim, natomiast przekątna d z indeksem dolnym dwa stanowi przekątną B F prim. Podstawę zaznaczonego trójkąta oznaczono małą literą a. Jest ona krawędzią E prim F prim. Na przekątnych utworzono dwa trójkąty prostokątne. Przekątna d z indeksem dolnym dwa stanowi przeciwprostokątną. Krawędź F Fprim stanowi przyprostokątną trójkąta i jest również wysokością graniastosłupa. Druga przyprostokątna odcinkiem łączącym wierzchołek B z wierzchołkiem F i wynosi a3. Przekątna d1 stanowi przeciwprostokątną kolejnego trójkąta prostokątnego. Jego przyprostokątna jest krawędzią E E prim i stanowi wysokość graniastosłupa. Druga przyprostokątna jest odcinkiem łączącym wierzchołek B z wierzchołkiem E i wynosi dwa a.

Możemy zapisać, że $d_{1}^{2} = 4 a^{2} + H^{2}$ oraz $d_{2}^{2} = 3 a^{2} + H^{2}$ .

Mamy więc, że $d_{1}^{2} = a^{2} + d_{2}^{2}$ .

Czyli, korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy, że trójkąt, którego bokami są przekątne graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka i krawędź podstawy jest trójkątem prostokątnym.

Infografika

Dla nauczyciela