Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R8UuDOFBetMU51

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Hiperbola $f (x) = \frac{5}{x}$ ma z prostą $y = 2 x + a^{2}$ punkt wspólny o odciętej $\frac{1}{2}$ dla:

$a = 9$
$a = 3$
$a = - 3$
$a \in "{"- 3, 3"}"$

RlUiT9s2XAYJK1

Ćwiczenie 2

Przeciągnij poprawną odpowiedź.

$4 \frac{2}{3}$ , $- 6$ , $- 5$ , $- 5 \frac{1}{3}$

Miejscem zerowym funkcji $f (x) = \frac{- 2}{x + 5} - 6$ jest liczba .

Ćwiczenie 3

Punkt $A = (p, q)$ należy do wykresu funkcji $f (x) = \frac{2}{x - 3}$ , gdzie $x \neq 3$ oraz do prostej o równaniu $y = x - 4$ . Wyznacz współrzędne punktu $A$ . Sporządź interpretację graficzną zadania.

Współrzędne punktu $A$ można zapisać: $A = (p, q) = (p, p - 4)$ .

Ponieważ punkt ten należy do hiperboli, to prawdziwe jest równanie:

$p - 4 = \frac{2}{p - 3} | \cdot (p - 3)$

$(p - 4) (p - 3) = 2$

$p^{2} - 3 p - 4 p + 12 = 2$

$p^{2} - 7 p + 10 = 0$

$∆ = 49 - 40 = 9$

$\sqrt{∆} = 3$

$p_{1} = 5$ , $p_{2} = 2$

Zatem istnieją dwa punkty należące do wykresu funkcji $f (x) = \frac{2}{x - 3}$ i prostej o równaniu

$y = x - 4$ : $A_{1} = (5, 1)$ oraz $A_{2} = (2, - 2)$ .

R1VSem4ogesqF

Ćwiczenie 4

RAviuwEF9b4l8

R13DLB5OVna0P

Ćwiczenie 5

Wyznacz całkowitą liczbę dodatnią o tej własności, że podwojona suma tej liczby i jej odwrotności jest równa $5$ . Przedstaw ilustrację graficzną zadania. Czy można to zrobić na więcej niż jeden sposób?

Oznaczmy szukaną liczbę przez $x$ , gdzie $x > 0$ .

Zapiszmy warunek, który ma ona spełniać: $2 (x + \frac{1}{x}) = 5$

$2 x + \frac{2}{x} = 5 | \cdot x$

$2 x^{2} + 2 = 5 x$

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

$∆ = 25 - 16 = 9$

$\sqrt{∆} = 3$

$x_{1} = 2$ , $x_{2} = \frac{1}{2} \notin ℤ$

Szukaną liczbą jest $x = 2$ .

Ilustracja graficzna $I$ : $\frac{2}{x} = - 2 x + 5$

RqybuJ7KgIfkJ

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus czterech do czterech. Na rysunku zaznaczono także wykres malejącej funkcji homograficznej oraz wykres malejącej funkcji liniowej. Funkcja liniowa przechodzi przez punkty nawias zero średnik pięć koniec nawiasu oraz nawias trzy średnik minus jeden koniec nawiasu. Wykres funkcji homograficznej przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik minus jeden koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik dwa koniec nawiasu. Oba wykresy funkcji przecinają się w dwóch punktach, nawias zero przecinek pięć średnik cztery koniec nawiasu oraz nawias dwa średnik jeden koniec nawiasu.

Ilustracja graficzna $II$ : $- \frac{2}{x} + 5 = 2 x$

R17tnOSkBffsg

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus dwóch do siedmiu . Na rysunku zaznaczono także wykres rosnącej funkcji homograficznej oraz wykres rosnącej funkcji liniowej. Funkcja liniowa przechodzi przez punkty nawias zero średnik zero koniec nawiasu oraz nawias trzy średnik sześć koniec nawiasu. Wykres funkcji homograficznej przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik sześć koniec nawiasu oraz nawias jeden średnik trzy koniec nawiasu. Oba wykresy funkcji przecinają się w dwóch punktach, nawias zero przecinek pięć średnik jeden koniec nawiasu oraz nawias dwa średnik cztery koniec nawiasu.

Ćwiczenie 6

Rozwiąż równanie: $\frac{x + 1}{x} - \frac{x}{x + 1} = \frac{9}{20}$ .

Określamy dziedzinę równania: $D = ℝ ∖ \{- 1, 0\}$ .

Mnożymy równanie obustronnie przez wspólny mianownik ułamków:

$\frac{x + 1}{x} - \frac{x}{x + 1} = \frac{9}{20} | \cdot 20 x (x + 1)$

$20 {(x + 1)}^{2} - 20 x^{2} = 9 x (x + 1)$

$20 (x^{2} + 2 x + 1) - 20 x^{2} = 9 x^{2} + 9 x$

$20 x^{2} + 40 x + 20 - 20 x^{2} = 9 x^{2} + 9 x$

$40 x + 20 = 9 x^{2} + 9 x$

$9 x^{2} - 31 x - 20 = 0$

$∆ = 961 + 720 = 1681$

$\sqrt{∆} = 41$

$x_{1} = 4$ , $x_{2} = - \frac{5}{9}$

Równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1} = 4$ oraz $x_{2} = - \frac{5}{9}$ .

Ćwiczenie 7

Dany jest okrąg o równaniu $x^{2} - 6 x + y^{2} + 4 y + 5 = 0$ , styczny do obu gałęzi hiperboli $f (x) = \frac{a}{x - p} + q$ . Wiedząc, że jeden z punktów styczności ma współrzędne $(5, - 4)$ , wyznacz współrzędne drugiego punktu styczności oraz wzór funkcji, której wykresem jest ta hiperbola.

Przekształcając równanie okręgu z postaci ogólnej na kanoniczną ustalamy środek i promień okręgu:

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8$

$S = (3, - 2)$ , $r = 2 \sqrt{2}$

Sporządzamy rysunek pomocniczy, uwzględniając położenie punktu styczności okręgu i hiperboli

$A = (5, - 4)$

RPRN8A3b2O8IT

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus trzech do siedmiu oraz pionową oś Y od minus sześciu do jedynki. Na rysunku zaznaczono także okrąg o środku w punkcie S równa się nawias trzy średnik minus dwa koniec nawiasu. Okrąg przechodzi przez punkty nawias jeden średnik zero koniec nawiasu, nawias pięć średnik zero koniec nawiasu oraz punkt A o współrzędnych nawias pięć średnik minus cztery koniec nawiasu.

Zauważmy, że skoro okrąg jest styczny do obu gałęzi hiperboli, to drugi punkt styczności $B = (x, y)$ jest obrazem punktu $A = (5, - 4)$ w symetrii środkowej o środku w $S = (3, - 2)$ . Jego współrzędne obliczymy więc korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka:

$\frac{5 + x}{2} = 3$ oraz $\frac{- 4 + y}{2} = - 2$

Stąd $x = 1$ oraz $y = 0$ , zatem $B = (1, 0)$

Ponadto punkt $S = (3, - 2)$ jest środkiem symetrii hiperboli $f (x) = \frac{a}{x - p} + q$ , tzn., że $p = 3$ oraz $q = - 2$ .

Mamy zatem równania asymptot wykresu: pionowej $x = 3$ oraz poziomej $y = - 2$ .

Uzupełnimy więc rysunek pomocniczy:

R1SAIWydhjIws

Pozostaje obliczyć wartość współczynnika $a$ we wzorze funkcji $f (x) = \frac{a}{x - p} + q$ .

Wykorzystamy do tego celu współrzędne jednego z punktów styczności:

$0 = \frac{a}{1 - 3} - 2$

$\frac{a}{- 2} = 2$

$a = - 4$

Zatem wzór szukanej funkcji homograficznej to: $f (x) = - \frac{4}{x - 3} - 2$ .

R8DK4olDi6MfK

Ćwiczenie 8

Dana jest funkcja $f (x) = \frac{- 2 x + 5}{x + 1}$ , gdzie $x \neq - 1$ . Wyznacz wszystkie punkty wykresu tej funkcji o obu współrzędnych całkowitych i wykaż, że trójkąt utworzony przez dowolne trzy z nich jest prostokątny.

Przekształcamy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

$f (x) = \frac{- 2 (x + 1) + 7}{x + 1} = \frac{- 2 (x + 1)}{x + 1} + \frac{7}{x + 1} = - 2 + \frac{7}{x + 1}$

Z postaci kanonicznej $f (x) = - 2 + \frac{7}{x + 1}$ wynika, że uzyskanie obu całkowitych współrzędnych będzie miało miejsce wtedy, gdy mianownik otrzymanego ułamka będzie dzielnikiem liczy $7$ , a więc jedną z liczb ze zbioru $\{- 1, 1, - 7, 7\}$ . Wszystkie możliwości przedstawia poniższa tabela:

$x$	$- 2$	$0$	$- 8$	$6$
$f (x)$	$- 9$	$5$	$- 3$	$- 1$

Zatem wszystkie punkty wykresu danej funkcji mające całkowite współrzędne to:

$A = (- 2, - 9)$ , $B = (0, 5)$ , $C = (- 8, - 3)$ , $D = (6, - 1)$

Wykonamy ilustrację graficzną otrzymanych wyników.

R8ab2QZGSEtHr

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dwunastu do ośmiu oraz pionową oś Y od minus dziesięciu do ośmiu. Na rysunku zaznaczono także wykres malejącej funkcji homograficznej posiadającej asymptoty o równaniach x równa się minus jeden oraz y równa się minus dwa. Wykres przechodzi przez cztery punkty, zaczynając od lewej strony, punkt C o współrzędnych nawias minus osiem średnik minus trzy koniec nawiasu, punkt A o współrzędnych nawias minus dwa średnik minus dziewięć koniec nawiasu, punkt B o współrzędnych nawias zero średnik pięć koniec nawiasu oraz punkt D o współrzędnych nawias sześć średnik minus jeden koniec nawiasu. Punkty połączono i powstał prostokąt A B C D.

Obliczymy długości boków i przekątnych otrzymanego czworokąta:

$|A D| = \sqrt{{(6 + 2)}^{2} + {(- 1 + 9)}^{2}} = \sqrt{64 + 64} = 8 \sqrt{2}$

$|B C| = \sqrt{{(- 8)}^{2} + {(- 3 - 5)}^{2}} = \sqrt{64 + 64} = 8 \sqrt{2}$

$|A C| = \sqrt{{(- 8 + 2)}^{2} + {(- 3 + 9)}^{2}} = \sqrt{36 + 36} = 6 \sqrt{2}$

$|B D| = \sqrt{{(6)}^{2} + {(- 1 - 5)}^{2}} = \sqrt{36 + 36} = 6 \sqrt{2}$

$|A B| = \sqrt{{(2)}^{2} + {(5 + 9)}^{2}} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2}$

$|C D| = \sqrt{{(6 + 8)}^{2} + {(- 1 + 3)}^{2}} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2}$

Otrzymany czworokąt ma zatem dwie pary równych boków i przekątne jednakowej długości.

Zauważmy, że każdy z czterech trójkątów ( $A B C$ , $A B D$ , $C D A$ oraz $C D B$ ), które można utworzyć wybierając dowolne trzy wierzchołki spośród punktów $A$ , $B$ , $C$ oraz $D$ jest trójkątem prostokątnym, ponieważ długości dwóch różnych boków czworokąta i jego przekątna tworzą trójki „pitagorejskie”:

$6 \sqrt{2}$ , $8 \sqrt{2}$ , $10 \sqrt{2}$ , co sprawdzamy stosując twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

${(6 \sqrt{2})}^{2} + {(8 \sqrt{2})}^{2} = {(10 \sqrt{2})}^{2}$ .

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela