Autor: Karolina Nowak

Przedmiot: Matematyka

Temat: Równania związane z proporcjonalnością odwrotną

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

II. Wyrażenia algebraiczne.

Zakres podstawowy. Uczeń:

5) znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych;

6) dzieli wielomian jednej zmiennej $W\left(x\right)$ przez dwumian postaci $x-a$.

III. Równania i nierówności.

Zakres podstawowy. Uczeń:

6) rozwiązuje równania wielomianowe postaci $W\left(x\right)=0$ dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;

7) rozwiązuje równania wymierne postaci $\frac{V\left(x\right)}{W\left(x\right)}=0$, gdzie wielomiany $V\left(x\right)$ i $W\left(x\right)$ są zapisane w postaci iloczynowej.

IV. Układy równań.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;

2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto rozwiązuje układy równań kwadratowych $x^2+y^2+ax+by=c{x}^2+y^2+dx+ey=f$.

V. Funkcje.

Zakres podstawowy. Uczeń:

13) posługuje się funkcją $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

3) dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+2}$ jest monotoniczna w przedziale $\left(-\infty , -2\right)$.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• rozwiązuje równanie kwadratowe, wielomianowe, wymierne

• przekształca wyrażenia wymierne

• identyfikuje wielkości odwrotnie proporcjonalne

• stosuje własności funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$

• przekształca wzory i wykorzystuje własności funkcji homograficznych

• dokonuje analizy informacji i wyciąga wnioski, weryfikuje wyniki działań

• argumentuje i uzasadnia swoje działania

• integruje wiadomości i umiejętności z różnych działów matematyki

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

• konektywizm

Metody i techniki nauczania:

• odwrócona klasa

• dyskusja

• obserwacja

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w parach/małych grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do Internetu

• zasoby multimedialne zawarte w e–materiale

• tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda

Przebieg lekcji

Przed lekcją:

• Uczniowie zapoznają się z treściami zapisanymi w sekcji „Wprowadzenie” oraz „Przeczytaj”.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel   określa cele lekcji  i kryteria sukcesu w języku ucznia.

2. Nauczyciel inicjuje rozmowę z uczniami na temat rozwiązywania równań różnych typów. Wspólnie z uczniami przypomina sposoby postępowania i techniki użyteczne w omawianych sytuacjach.

3. Nauczyciel zadaje pytania kontrolne dotyczące przykładów z sekcji „Przeczytaj”, aby uzyskać informację o stopniu zrozumienia przez uczniów opisanych przykładów. Jeśli uczniowie nie poruszą tego tematu wskazane byłby omówienie innego sposobu, niż wskazany w przykładzie 2 w sekcji „Przeczytaj”, rozkładu wielomianu stopnia trzeciego na czynniki liniowe.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie w parach zapoznają się z załączoną infografiką i na jej podstawie realizują Polecenie 2. Jeśli zachodzi taka konieczność, nauczyciel może zaproponować inne analogiczne przykłady, aby nabrać przekonania o zrozumieniu przez uczniów zaprezentowanego algorytmu postępowania.

2. Uczniowie tworzą 3 – 4 osobowe zespoły (najlepiej 8 zespołów, jeśli więc klasa jest mało liczna, to tworzą pary), których zadaniem jest wspólne omówienie i wyjaśnienie sobie nawzajem po jednym ćwiczeniu 5 – 8, wskazanym przez nauczyciela, spośród zamieszczonych w sekcji „Sprawdź się”. Nad każdym z czterech ćwiczeń pracują dwa zespoły.

3. Każde dwa zespoły pracujące nad jednakowym ćwiczeniem łączą się w większą grupę i w tym gronie porównują rezultaty, ustalają poprawność zastosowanych rozwiązań, wyjaśniają wątpliwości. W razie konieczności proszą o rozstrzygnięcie nauczyciela.

4. Nauczyciel kontroluje pracę zespołów, koryguje błędy i wyjaśnia ewentualne wątpliwości.

5. Zespoły delegują po jednym przedstawicielu, który przedstawia rozwiązanie uzgodnione w grupie, na forum klasy.

Faza podsumowująca:

1. Uczniowie zgłaszają ewentualne pytania w nawiązaniu do ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się” i wspólnie z nauczycielem je rozstrzygają.

2. Nauczyciel  inicjuje krótką rozmowę na temat kryteriów sukcesu. Czego się uczniowie nauczyli? Jaką wcześniejszą wiedzę i umiejętności wykorzystali na lekcji? Co było dla nich (lub nadal jest) trudne bądź niezrozumiałe?

3. Jeśli nauczyciel widzi taką potrzebę może zastosować na podsumowanie sygnalizację świetlną: uczniowie indywidualnie przypisują poszczególnym umiejętnościom określonym w kryteriach sukcesu kolory: zielony – wszystko zrozumiałe, żółty – zrozumiałe częściowo i czerwony – niezrozumiałe.

Praca domowa:

Zadaniem dla wszystkich uczniów jest wykonanie ćwiczeń 1 – 4 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

• Proporcjonalność odwrotnaDcN2NwaMDProporcjonalność odwrotna

• Wielkości odwrotnie proporcjonalneDbUoaRiiMWielkości odwrotnie proporcjonalne

Wskazówki metodyczne:

• Szczególną uwagę warto zwrócić na zadanie zamieszczone w Przykładzie 2 w sekcji „Przeczytaj” i pokazać uczniom nietypowy sposób rozkładu wielomianu stopnia trzeciego na czynniki liniowe.

• Warto także w tym samym przykładzie pokazać uczniom różnicę w geometrycznym położeniu dwóch punktów wspólnych paraboli i hiperboli w konfrontacji z zapisem algebraicznym równania, którego pierwiastki stanowią odcięte tych punktów (znaczenie pierwiastka podwójnego).

• Prezentację multimedialną nauczyciel może wykorzystać jako uzupełnienie tematu „Monotoniczność funkcji”.