Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Ciąg „ $13$ , $0$ , $5$ , $0$ , $17$ , $14$ , $6$ , $4$ ” po odkodowaniu funkcją odkodowującą dla $p = 21$ i odczytaniu liter z tabelki kodującejtabelkatabelki kodującej to:

R10GIaYU7yahe

$Z Y G A L S K I$
$R O Z Y C K I$
$R E J E W S K I$

Ćwiczenie 2

Korzystając z tabelkitabelkatabelki odszyfruj słowo „ $Z Y G A L S K I$ ”.

RnNlRpg3BLhvr

Przeciągnij poprawną odpowiedź.

" $13$ , $12$ , $20$ , $14$ , $0$ , $7$ , $24$ , $22$ ", " $12$ , $16$ , $3$ , $0$ , $23$ , $7$ , $19$ , $2$ ", " $2$ , $24$ , $5$ , $17$ , $14$ , $20$ , $3$ , $9$ ", " $20$ , $12$ , $7$ , $9$ , $14$ , $24$ , $8$ , $0$ "

Słowo " $Z Y G A L S K I$ " dla $p = 14$ , to .

RSh9hgNpwQkR22

Ćwiczenie 3

Posługując się informacjami zawartymi w Przykładzie 5. dopasuj odpowiednio wzór do zdania. Zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb nieparzystych. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = 2 x - 1

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} x

, 3.

f (x) = \{\begin{cases} - 2 x, & x < 0 \\ 2 x + 1, & x \geq 0 \end{cases}

, 4.

f (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}

, 5.

f (x) = 3 x

, 6.

f (x) = \frac{1}{2} x

Zbiór liczb parzystych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = 2 x - 1

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} x

, 3.

f (x) = \{\begin{cases} - 2 x, & x < 0 \\ 2 x + 1, & x \geq 0 \end{cases}

, 4.

f (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}

, 5.

f (x) = 3 x

, 6.

f (x) = \frac{1}{2} x

Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = 2 x - 1

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} x

, 3.

f (x) = \{\begin{cases} - 2 x, & x < 0 \\ 2 x + 1, & x \geq 0 \end{cases}

, 4.

f (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}

, 5.

f (x) = 3 x

, 6.

f (x) = \frac{1}{2} x

Zbiór liczb nieparzystych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = 2 x - 1

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} x

, 3.

f (x) = \{\begin{cases} - 2 x, & x < 0 \\ 2 x + 1, & x \geq 0 \end{cases}

, 4.

f (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}

, 5.

f (x) = 3 x

, 6.

f (x) = \frac{1}{2} x

Zbiór liczb podzielnych przez trzy jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = 2 x - 1

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} x

, 3.

f (x) = \{\begin{cases} - 2 x, & x < 0 \\ 2 x + 1, & x \geq 0 \end{cases}

, 4.

f (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}

, 5.

f (x) = 3 x

, 6.

f (x) = \frac{1}{2} x

Zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb podzielnych przez trzy. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = 2 x - 1

, 2.

f (x) = \frac{1}{3} x

, 3.

f (x) = \{\begin{cases} - 2 x, & x < 0 \\ 2 x + 1, & x \geq 0 \end{cases}

, 4.

f (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}

, 5.

f (x) = 3 x

, 6.

f (x) = \frac{1}{2} x

Połącz w pary zdanie oraz funkcję, za pomocą której można je udowodnić.
Na przykład parą jest: "Zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb nieparzystych." i $f (x) = 2 x + 1$ .

Zbiór liczb parzystych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
Zbiór liczb podzielnych przez trzy jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
Zbiór liczb nieparzystych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
Zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb podzielnych przez trzy.

Ćwiczenie 4

Podaj przykład funkcji, która przekształca w sposób wzajemnie jednoznaczny zbiór $ℝ$ na $(0, \infty)$ oraz odwrotnie, przykład funkcji różnowartościowej ( $1 - 1$ ) przekształcającej zbiór $(0, \infty)$ na zbiór $ℝ$ . Co można powiedzieć o tych zbiorach?

Przykładem funkcji przekształcającej w sposób wzajemnie jednoznaczny zbiór $ℝ$ na $(0, \infty)$ jest na przykład funkcja $f (x) = 3^{x}$ . Przykładem funkcji przekształcającej zbiór $(0, \infty)$ na $ℝ$ jest na przykład funkcja odwrotna do tej funkcji wykładniczej: $g (x) = \log_{3} x$ .

Zbiory $ℝ$ oraz $(0, \infty)$ są równoliczne.

Ćwiczenie 5

Niech $f (x) = 2 x + 4$ a $g (x) = \frac{1}{2} x - 2$ . Znajdź złożenia: $g \circ f$ oraz $f \circ g$ .

$f : ℝ \to ℝ$ oraz $g$ : $ℝ \to ℝ$ . Ponieważ $ℝ \subset ℝ$ istnieją złożenia:

$g (f (x)) = \frac{1}{2} (2 x + 4) - 2 = x + 2 - 2 = x$

oraz

$f (g (x)) = 2 (\frac{1}{2} x - 2) + 4 = x - 4 + 4 = x$ .

Funkcje $f$ oraz $g$ są funkcjami wzajemnie odwrotnymi do siebie.

Ćwiczenie 6

Dane są funkcje: $f$ : $ℝ \to (- 1, 1)$ , $f (x) = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{2^{x} + 2^{- x}}$ oraz $g$ : $(- 1, 1) \to ℝ$ , $g (x) = \frac{1}{2} \log_{2} \frac{1 + x}{1 - x}$ . Zbadaj, czy $g \circ f = i d_{ℝ}$ oraz $f \circ g = i d_{(- 1; 1)}$ .

Zbiór $(- 1, 1) \subset (- 1, 1)$ oraz $ℝ \subset ℝ$ , czyli możliwe są złożenia.

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = \frac{1}{2} \log_{2} \frac{1 + \frac{2^{x} - 2^{- x}}{2^{x} + 2^{- x}}}{1 - \frac{2^{x} - 2^{- x}}{2^{x} + 2^{- x}}} = \frac{1}{2} \log_{2} \frac{2^{x} + 2^{- x} + 2^{x} - 2^{- x}}{2^{x} + 2^{- x} - 2^{x} + 2^{- x}} =$

$= \frac{1}{2} \log_{2} \frac{2 \cdot 2^{x}}{2 \cdot 2^{- x}} = \frac{1}{2} \log_{2} 2^{2 x} = \frac{1}{2} \cdot 2 x$ $= x$

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = \frac{2^{\frac{1}{2} \log_{2} \frac{1 + x}{1 - x}} - 2^{- \frac{1}{2} \log_{2} \frac{1 + x}{1 - x}}}{2^{\frac{1}{2} \log_{2} \frac{1 + x}{1 - x}} + 2^{- \frac{1}{2} \log_{2} \frac{1 + x}{1 - x}}} = \frac{\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} - \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}}}{\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}}} =$

$= \frac{\frac{1 + x}{1 - x} - 1}{\frac{1 + x}{1 - x} + 1} = \frac{1 + x - 1 + x}{1 + x + 1 - x} = \frac{2 x}{2} = x$ .

Ćwiczenie 7

Niech $f$ : $ℝ \to ℝ$ , $f (x) = - x + 77$ . Wykaż, że funkcja jest inwolucją.

Funkcja jest liniowa, malejąca, czyli jest różnowartościowa. Zbiór wartości jest równy przeciwdziedzinie, zatem funkcja jest odwracalna.

Jest inwolucją ponieważ: $f (f (x)) = - (- x + 77) + 77 = x - 77 + 77 = x$ .

Ćwiczenie 8

Sprawdzić, czy funkcja $f (x) = \frac{a x + b}{c x - a}$ , gdzie $a^{2} + b c \neq 0$ , jest inwolucją.

Dziedziną naturalną funkcji jest zbiór $D = \{x : c x - a \neq 0\} = \{x : x \neq \frac{a}{c}\}$ , $(c \neq 0)$ .

Różnowartościowość:

Weźmy dowolne $x_{1}$ , $x_{2} \in D$ . Załóżmy, że

$f (x_{1}) = f (x_{2})$ wtedy

$\frac{a x_{1} + b}{c x_{1} - a} = \frac{a x_{2} + b}{c x_{2} - a} \Leftrightarrow (c x_{2} - a) (a x_{1} + b) = (c x_{1} - a) (a x_{2} + b) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a c x_{1} x_{2} + b c x_{2} - a^{2} x_{1} - a b = a c x_{1} x_{2} + b c x_{1} - a^{2} x_{2} - a b \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow b c x_{2} - a^{2} x_{1} = b c x_{1} - a^{2} x_{2} \Leftrightarrow b c x_{1} + a^{2} x_{1} = a^{2} x_{2} + b c x_{2} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x_{1} (b c + a^{2}) = x_{2} (a^{2} + b c)$

ponieważ $a^{2} + b c \neq 0$ , to $x_{1} = x_{2}$ .

Funkcja jest różnowartościowa.

Znajdźmy zbiór wartości $f (x) = \frac{a x + b}{c x - a} = \frac{\frac{a}{c} x + \frac{b}{c}}{x - \frac{a}{c}} = \frac{\frac{a}{c} (x - \frac{a}{c}) + \frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b}{c}}{x - \frac{a}{c}} = \frac{a}{c} + \frac{\frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b}{c}}{x - \frac{a}{c}}$ . Asymptotą poziomą jest prosta: $y = \frac{a}{c}$ , czyli $f (D) = ℝ ∖ \{\frac{a}{c}\}$ . Funkcja $f$ : $ℝ ∖ \{\frac{a}{c}\} \to ℝ ∖ \{\frac{a}{c}\}$ jest „na”.

Istnieje funkcja odwrotna. Załóżmy, że jest to ta sama funkcja.

$f (f (x)) = \frac{a \cdot \frac{a x + b}{c x - a} + b}{c \cdot \frac{a x + b}{c x - a} - a} = \frac{a^{2} x + a b + b c x - a b}{c a x + b c - a c x + a^{2}} = \frac{a^{2} x + b c x}{b c + a^{2}} = \frac{x (a^{2} + b c)}{b c + a^{2}} = x$ .

Otrzymaliśmy identyczność. Zatem funkcja $f$ jest inwolucją.

kodowanie liter

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
$y$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$	$23$	$24$	$0$	$1$	$2$	$3$

$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$	$23$	$24$
$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$

tabelka

Schemat interaktywny

Dla nauczyciela