Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RyWqz63NNrwsN1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $1$ . Jeśli długość najkrótszego z boków oznaczymy $x$ , to długość tę możemy wyznaczyć, rozwiązując równanie:

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$
$x^{2} + 2 x - 3 = 0$
$x^{2} - 2 x + 3 = 0$
$x^{2} + 2 x + 3 = 0$

R60kSmHamkDLd1

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Długości boków prostokąta i przekątna tego prostokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $6$ . Obwód prostokąta jest równy $84$ . Przekątna prostokąta ma długość:

$12$
$18$
$24$
$30$

R16ZuVwZA5vB72

Ćwiczenie 3

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Promienie kół współśrodkowych tworzą ciąg arytmetyczny. Ciąg arytmetyczny tworzą również:

średnice tych kół
pola tych kół
obwody tych kół
cięciwy tych kół

R1Jn6yauYU6Ut2

Ćwiczenie 4

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Krótsza z przyprostokątnych ma długość $12$ . Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Różnica ciągu, który tworzą długości boków trójkąta jest równa $4$ .
Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $16$ .
Pole trójkąta jest równe $96$ .
Wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość $4, 8$ .

REsukceiOjdI22

Ćwiczenie 5

Miary kątów dziewięciokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny, w którym najmniejszy kąt ma miarę $108 °$ . Uzupełnij obliczenia miary największego kąta. Wpisz odpowiednie liczby.

Oznaczmy:
$r$ – różnica ciągu.
Wtedy:
$9 \cdot 108 ° +$ ............ $\cdot r =$ ............ $\cdot 180 °$
$36 r =$ ............ $°$
$r = 8 °$
Miara największego kąta.
$108 ° + 8 \cdot$ ............ $° = 172 °$

RK3Zq01RhhhGG2

Ćwiczenie 6

Łamana składa się z

20

odcinków, których długości tworzą ciąg arytmetyczny. Najkrótszy odcinek ma długość

1

, a różnica ciągu jest równa

2

. Oblicz długość tej łamanej.
Poukładaj w odpowiedniej kolejności rozwiązanie zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Obliczamy sumę dwudziestu kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego

(a_{n})

., 2.

S_{20} = \frac{1 + 39}{2} \cdot 20

, 3.

a_{n} = a + (n - 1) \cdot r

, 4. Do wzoru ogólnego podstawiamy:

n = 20

a = 1

r = 2

., 5. Odpowiedź: Długość łamanej jest równa

400

., 6. Oznaczmy:

a

– długość najkrótszego boku łamanej,

r

– różnica ciągu, który tworzą długości boków łamanej,

(a_{n})

– rozpatrywany ciąg., 7. Zapisujemy wzór ogólny ciągu., 8.

S_{20} = 20 \cdot 20 = 400

, 9.

a_{20} = 1 + (20 - 1) \cdot 2 = 1 + 38 = 39

, 10. Wyznaczamy wartość najdłuższego boku łamanej.

Łamana składa się z $20$ odcinków, których długości tworzą ciąg arytmetyczny. Najkrótszy odcinek ma długość $1$ , a różnica ciągu jest równa $2$ . Oblicz długość tej łamanej.
Poukładaj w odpowiedniej kolejności rozwiązanie zadania.

$a_{20} = 1 + (20 - 1) \cdot 2 = 1 + 38 = 39$
Wyznaczamy wartość najdłuższego boku łamanej.
Do wzoru ogólnego podstawiamy: $n = 20$ , $a = 1$ , $r = 2$ .
Obliczamy sumę dwudziestu kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ .
Zapisujemy wzór ogólny ciągu.
Odpowiedź: Długość łamanej jest równa $400$ .
$a_{n} = a + (n - 1) \cdot r$
$S_{20} = 20 \cdot 20 = 400$
$S_{20} = \frac{1 + 39}{2} \cdot 20$
Oznaczmy:
$a$ – długość najkrótszego boku łamanej,
$r$ – różnica ciągu, który tworzą długości boków łamanej,
$(a_{n})$ – rozpatrywany ciąg.

Ćwiczenie 7

Czworokąt wpisany jest w koło. Długości trzech kolejnych kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny. Udowodnimy, że przynajmniej dwa kąty tego czworokąta są proste.

R2CBUfzSfDUQd

Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD wpisany w koło. Przy wierzchołkach oznaczono następujące kąty: alfa, beta, gama i sigma.

Oznaczmy:
$α$ , $β$ , $γ$ , $δ$ – miary kątów czworokąta wpisanego w koło, gdzie $α \leq β \leq γ$ ,
$r$ – różnica ciągu, który tworzą kąty czworokąta.

Zatem:

$β = α + r$

$γ = α + 2 r$

W czworokącie wpisanym w okrąg sumy przeciwległych kątów są równe.

$α + γ = β + δ$

$α + α + 2 r = α + r + δ$

$2 α + 2 r = α + r + δ$

Suma kątów czworokąta jest równa $360 °$ , zatem sumy przeciwległych kątów są równe $180 °$ .

$2 α + 2 r = 180 °$ i $α + r + δ = 180 °$

$α + r = 90 °$ i $δ = 180^{0} - (α + r)$

Stąd

$δ = 180 ° - 90 °$

$δ = 90 °$

Z równości $α + r + δ = 180 °$ , czyli $α + r + 90 ° = 180 °$ .

Wynika stad, że $β = α + r = 90 °$ .

Czyli co najmniej dwa kąty mają miary po $90 °$ .

Ćwiczenie 8

W trójkącie jeden z kątów ma miarę $120 °$ . Długości boków tego trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz stosunki długości boków tego trójkąta.

Oznaczmy:
$a$ , $b$ , $c$ – długości boków trójkąta. Niech kąt o mierze $120 °$ będzie kątem miedzy bokami $a$ , $b$ .

Zapisujemy równanie wynikające z twierdzenia cosinusów.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos 120^{\circ}$

Dzielimy obie strony równania przez $a^{2}$ – wiemy, że $a > 0$ .

${(\frac{c}{a})}^{2} = 1 + {(\frac{b}{a})}^{2} + \frac{b}{a}$

Oznaczmy:
$\frac{b}{a} = u$ , gdzie $u > 0$ ,
$\frac{c}{a} = w$ , gdzie $w > 0$ .

Zatem:

$w^{2} = 1 + u^{2} + u$

Teraz zapisujemy równanie wynikające z tego, że długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny,

$b - a = c - b | : a$

$\frac{c}{a} = \frac{2 b}{a} - 1$

Czyli:

$w = 2 u - 1$

Otrzymaliśmy układ równań.

$\{\begin{cases} w^{2} = 1 + u^{2} + u \\ w = 2 u - 1 \end{cases}$

Zatem:

$3 u^{2} - 5 u = 0$

Stąd $u = 0$ lub $u = \frac{5}{3}$ .

Czyli $w = \frac{7}{3}$ .

Wynika z tego, że:

$\frac{b}{a} = \frac{5}{3}$ i $\frac{c}{a} = \frac{7}{3}$ , czyli $a : b : c = 3 : 5 : 7$ .

Infografika

Dla nauczyciela