Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1ZEjSmNVOv3e1

Ćwiczenie 1

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

	Prawda	Fałsz
Pole powierzchni sześcianu o krawędzi $6$ jest dwukrotnie większe od pola powierzchni sześcianu o krawędzi $3$ .	□	□
Jeżeli długość przekątnej sześcianu jest liczbą niewymierną, to pole powierzchni również jest liczbą niewymierną.	□	□

R18fdMd6Hf1Xe1

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Pole powierzchni sześcianu o przekątnej ściany bocznej równej $2 \sqrt{6}$ wynosi:

$24 \sqrt{6}$
$24$
$24 \sqrt{3}$
$72$

R1BITItGrHvnE2

Ćwiczenie 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. Przekątna sześcianu o polu powierzchni $36$ wynosi:

$6 \sqrt{6}$
$2 \sqrt{3}$
$3 \sqrt{2}$
$6 \sqrt{3}$

R1CD3alLrwoKy2

Ćwiczenie 4

Uzupełnij tabelę. Wpisz poprawne liczby.

L.p.	$a$	$P_{c}$	$V$
$1$	$5$
$2$		$54$
$3$			$64$

Ćwiczenie 5

Z sześcianów o krawędzi jednostkowej zbudowano sześcian o krawędzi równej $3$ jednostki, a następnie usunięto z niego $4$ jednostkowe sześciany, jak na rysunkach. Uzupełnij zdania jedną z podanych możliwości.

RHBLDMWwCRI2E

Na ilustracji przedstawiono sześcian, zbudowany z sześcianów o krawędzi jednostkowej równej trzy. Z warstwy znajdującej się na samej górze, usunięto 4 jednostkowe sześciany. Środkowy sześcian z rzędu pierwszego, pierwszy oraz trzeci z rzędu drugiego, oraz środkowy z rzędu trzeciego.

RmWN5eawvjese

Objętość sześcianu 1. pozostała bez zmian, 2. zwiększyła się, 3. zmniejszyła się, 4. zwiększyło się, 5. zmniejszyło się, 6. pozostało bez zmian w stosunku do sześcianu o krawędzi

3

.

Pole powierzchni 1. pozostała bez zmian, 2. zwiększyła się, 3. zmniejszyła się, 4. zwiększyło się, 5. zmniejszyło się, 6. pozostało bez zmian 1. pozostała bez zmian, 2. zwiększyła się, 3. zmniejszyła się, 4. zwiększyło się, 5. zmniejszyło się, 6. pozostało bez zmian 1. pozostała bez zmian, 2. zwiększyła się, 3. zmniejszyła się, 4. zwiększyło się, 5. zmniejszyło się, 6. pozostało bez zmian w stosunku do sześcianu o krawędzi

3

pozostało bez zmian, zmniejszyło się, zwiększyła się, zmniejszyła się, zwiększyło się, pozostała bez zmian

Objętość powstałej bryły ........................................ w stosunku do objętości sześcianu o krawędzi $3$ .

Pole powierzchni powstałej bryły ........................................ w stosunku do pola powierzchni sześcianu o krawędzi $3$ .

Rw7u546xP8FU5

R1UTJGQv74hEp

zwiększyło się, pozostała bez zmian, zmniejszyła się, pozostało bez zmian, zwiększyła się, zmniejszyło się

Ćwiczenie 6

Punkt $I$ jest środkiem przekątnej podstawy sześcianu. Odcinek $A I$ ma długość $\sqrt{6} cm$ . Ile wynosi pole powierzchni tego sześcianu? Wpisz wynik w wyznaczonym miejscu.

RpfHlZn7prFXi

Na ilustracji przedstawiono sześcian o dolnej podstawie E F G H oraz górnej A B C D. Odpowiednio nad wierzchołkiem E znajduje się wierzchołek A, nad wierzchołkiem F wierzchołek B, nad wierzchołkiem G wierzchołek C oraz nad wierzchołkiem H wierzchołek D. Zaznaczono przekątną E G dolnej podstawy, oraz punkt I stanowiący jej środek. Czerwonym kolorem zaznaczono odcinek A I. Trójkąt A E I jest trójkątem, z kątem prostym przy wierzchołku E.

RRqDa3UKXaUao

Pole powierzchni tego sześcianu wynosi ............ ${cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 7

Pole trójkąta $B D E$ na rysunku wynosi $4 \sqrt{3} {cm}^{2}$ . Ile wynosi pole powierzchni tego sześcianu?

R1T0DLWy1QF5J

Na ilustracji przedstawiono sześcian o dolnej podstawie A B C D, oraz górnej E F G H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F, nad wierzchołkiem C wierzchołek G oraz nad wierzchołkiem D wierzchołek H . Zaznaczono przekątną A C oraz B D dolnej podstawy. W przestrzeni sześcianu utworzono trójkąt B E D.

Trójkąt $B D E$ jest równoboczny.

Jego bokami są przekątne ścian sześcianu.

Mamy więc $P = \frac{p^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Czyli $4 \sqrt{3} = \frac{p^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

A stąd dalej $p^{2} = 16$ .

A zatem długość przekątnej ściany sześcianu wynosi $p = 4$ .

Skorzystajmy ze wzoru na przekątną ściany i wprowadźmy oznaczenie $|A B| = a$ .

Mamy więc $a \sqrt{2} = 4$ , czyli $a = 2 \sqrt{2}$ .

Możemy już obliczyć pole powierzchni sześcianu:

$P_{c} = 6 \cdot {(2 \sqrt{2})}^{2} = 48 {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 8

Ściany dwóch sześcianów są kwadratami jak na rysunku. Różnica pól powierzchni tych sześcianów wynosi $1056$ . Oblicz długość krawędzi większego sześcianu.

RaAbSAFiOY2nF

Na ilustracji przedstawiono dwa kwadraty odzwierciedlające ściany dwóch sześcianów. Bok mniejszego kwadratu wynosi a. Bok większego kwadratu wynosi 2a plus jeden.

Podstawiając do wzoru na pole powierzchni sześcianu mamy

$P_{c 1} = 6 a^{2}$ oraz $P_{c 2} = 6 \cdot {(2 a + 1)}^{2}$ .

Różnica pól wynosi $1056$ , a zatem otrzymujemy równanie:

$6 \cdot {(2 a + 1)}^{2} - 6 a^{2} = 1056$

Wykonajmy kolejne przekształcenia tego równania:

$6 \cdot (4 a^{2} + 4 a + 1) - 6 a^{2} = 1056$

$24 a^{2} + 24 a + 6 - 6 a^{2} = 1056$

$18 a^{2} + 24 a - 1050 = 0$

Dzieląc równanie przez $6$ otrzymujemy:

$3 a^{2} + 4 a - 175 = 0$

Jest to równanie kwadratowe, rozwiążemy je w standardowy sposób:

$∆ = 16 + 2100 = 2116$

$a_{1} = \frac{- 4 - \sqrt{2116}}{6} < 0$ ,

$a_{2} = \frac{- 4 + \sqrt{2116}}{6} = \frac{42}{6} = 7$

A zatem długość krawędzi mniejszego sześcianu wynosi $7$ .

Stąd długość krawędzi większego sześcianu wynosi $2 a + 1 = 15$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela