Sprawdź się
Zwróć uwagę, że po podstawieniu otrzymasz w liczniku wykładnika potęgi .
Wartość ta wynosi 1, bo taka jest wartość zerowej potęgi dowolnej liczby nierównej zeru.
Standardowy rozkład Gaussa ma maksimum w punkcie .
Ze wzoru widać, że wartość ta jest dana wyrażeniem .
Zwróć uwagę, że za wysokość krzywej odpowiada czynnik stojący przed liczbą .
Wartość ta jest dana wyrażeniem
Odchylenie standardowe to odległość od wartości średniej równa wartości .
Będą to wartości od (), co w naszym przypadku daje.
Widać to z postaci wyrażenia , gdzie jest w mianowniku ułamka.
Co we wzorze na krzywą Gaussa sprawia, że kiedy rozkład Gaussa jest szeroki, to równocześnie zmniejsza się jego wysokość?
Przyjrzyj się, gdzie we wzorze Gaussa wystepuje wielkość odpowiedzialna za szerokość rozkładu.
Odpowiedzialny za to jest głównie (wyjaśnimy, co to znaczy) człon , gdzie w mianowniku mamy wartość . Rozkład jest szeroki, kiedy ma dużą wartość, ale wtedy małą wartość ma i na odwrót, rozkład jest wąski, kiedy ma małą wartość, ale wtedy wartość jest duża.
Jednak czynnik zawierający funkcję wykładniczą też wpływa na wysokość - poza maksimum. Ustalmy argument rozkładu, tj. x (różne od a). Dla małych szerokości rozkładu wyrażenie w wykładniku dąży do minus nieskończoności, a więc wartość funkcji wykładniczej dąży do zera i - jak się okazuje - wolniej niż liniowo. Z kolei dla dużych szerokości wykładnik dąży do zera, a więc funkcja wykładnicza dąży - od dołu - do 1.
Ostatecznie, jeśli jeśli przyjąć równość pól powierzchni pod wykresami wszystkich takich krzywych (dowód jest dość trudny, ale przy pewnej wprawie w całkowaniu da się go przeprowadzić), intuicja powinna podpowiadać, że im szerszy rozkład, tym niższy.
Parametr określa jedynie położenie argumentu, dla którego rozkład Gaussa ma maksimum.
Poniższy rysunek przedstawia krzywą .
Spróbujmy policzyć pole pod tą krzywą. W tym celu podzielmy obszar wykresu na małe kwadraty o boku 0,1 i pokolorujmy te, których większość pola znajduje się pod krzywą. Znając pole pojedynczego kwadratu i liczbę pokolorowanych kwadratów (248) możemy w przybliżeniu obliczyć pole pod krzywą. Oblicz to pole i porównaj z czynnikiem , przez który należy podzielić tę funkcję, by otrzymać standardową krzywą Gaussa.
Czynnik w krzywej Gaussa jest wielkością, dzięki której pole pod krzywą Gaussa równe jest jedności. Dzieje się tak nie tylko dla jej standardowej postaci, ale również dla dowolnych wartości parametrów i .