Zwróć uwagę, że po podstawieniu otrzymasz w liczniku wykładnika potęgi $a-a=0$.

Wartość ta wynosi 1, bo taka jest wartość zerowej potęgi dowolnej liczby nierównej zeru.

Standardowy rozkład Gaussa ma maksimum w punkcie $x=0$.

Ze wzoru $y(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$ widać, że wartość ta jest dana wyrażeniem $1/\sqrt{2\pi} \approx 0,399$.

Zwróć uwagę, że za wysokość krzywej odpowiada czynnik stojący przed liczbą $e$.

Wartość ta jest dana wyrażeniem

Odchylenie standardowe to odległość od wartości średniej równa wartości $\sigma$.

Będą to wartości od ($a-\sigma <x<a+\sigma$), co w naszym przypadku daje$4,5<x<9,5$.

Widać to z postaci wyrażenia $e^{-\frac{{\left(x-a\right)}^2}{2{\sigma }^2}}$, gdzie $\sigma$ jest w mianowniku ułamka.

Przyjrzyj się, gdzie we wzorze Gaussa wystepuje wielkość odpowiedzialna za szerokość rozkładu.

Odpowiedzialny za to jest głównie (wyjaśnimy, co to znaczy) człon $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$, gdzie w mianowniku mamy wartość $\sigma$. Rozkład jest szeroki, kiedy $\sigma$ ma dużą wartość, ale wtedy małą wartość ma $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$i na odwrót, rozkład jest wąski, kiedy $\sigma$ ma małą wartość, ale wtedy wartość $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$jest duża.

Jednak czynnik zawierający funkcję wykładniczą też wpływa na wysokość - poza maksimum. Ustalmy argument rozkładu, tj. x (różne od a). Dla małych szerokości rozkładu wyrażenie w wykładniku dąży do minus nieskończoności, a więc wartość funkcji wykładniczej dąży do zera i - jak się okazuje - wolniej niż liniowo. Z kolei dla dużych szerokości wykładnik dąży do zera, a więc funkcja wykładnicza dąży - od dołu - do 1.

Ostatecznie, jeśli jeśli przyjąć równość pól powierzchni pod wykresami wszystkich takich krzywych (dowód jest dość trudny, ale przy pewnej wprawie w całkowaniu da się go przeprowadzić), intuicja powinna podpowiadać, że im szerszy rozkład, tym niższy.

Parametr $a$ określa jedynie położenie argumentu, dla którego rozkład Gaussa ma maksimum.

Poniższy rysunek przedstawia krzywą $y=\exp (-x^2/2)$.

RE8nGZhEAdilE

Rysunek przedstawia wykres funkcji Gaussa. Zaprezentowany jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi liniami. Oś pionowa skierowana jest w górę i opisana małą literą y. Na osi pionowej zaznaczono wartości od zera do jedności, co dwie dziesiąte dla podziałki głównej i co jedną dziesiątą dla podziałki pomocniczej. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i opisana małą literą x. Na osi poziomej zaznaczono wartości od minus trzech do plus trzech, co jeden w podziałce głównej. Podziałka pomocnicza sporządzona jest co jedną dziesiątą. W układzie przedstawiona jest funkcja Gaussa, której wykres przypomina dzwon, i która narysowana jest ciemnoniebieską linią. Dla wartości mała litera x równe minus trzy i plus trzy, wartość funkcji jest bliska zero. Wartość maksymalną równą jeden, funkcja przyjmuje dla mała litera x równe jeden. Pole pod funkcją wypełniono kolorem jasnoniebieskim. Pole wykresu podzielono kwadratową siatką, której jeden element ma wymiary jedna dziesiąta w kierunku pionowym i jedna dziesiąta w kierunku poziomym. Sumując pola powierzchni kwadratów znajdujących się pod krzywą na wykresie otrzymujemy wartość całkowitego pola bliską jedności.

Spróbujmy policzyć pole pod tą krzywą. W tym celu podzielmy obszar wykresu na małe kwadraty o boku 0,1 i pokolorujmy te, których większość pola znajduje się pod krzywą. Znając pole pojedynczego kwadratu i liczbę pokolorowanych kwadratów (248) możemy w przybliżeniu obliczyć pole pod krzywą. Oblicz to pole i porównaj z czynnikiem $\sqrt{2\pi }$, przez który należy podzielić tę funkcję, by otrzymać standardową krzywą Gaussa.

Czynnik $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ w krzywej Gaussa jest wielkością, dzięki której pole pod krzywą Gaussa równe jest jedności. Dzieje się tak nie tylko dla jej standardowej postaci, ale również dla dowolnych wartości parametrów $a$ i $\sigma$.