Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1HbBoXs4vRNg1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Punktem symetrycznym do punktu $(- 997, 2020)$ względem początku układu współrzędnych jest punkt:

$(- 997, - 2020)$
$(997, 2020)$
$(997, - 2020)$
$(2020, - 997)$

R7T32r8oKIWge1

Ćwiczenie 2

Znajdź środek symetrii $C$ , w której punkt $P'$ jest obrazem środka okręgu $o$ i połącz je w pary.

$o : {(x + 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 8$ $P' = (- 4, - 3)$
$o : {(x + 10)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ $P' = (10 + 2 \sqrt{5}, 4 \sqrt{5} - 2)$
$o : {(x - 3 + \sqrt{5})}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 10$ $P' = (\sqrt{5}, 4)$

R1Z7kAVnBhfGT1

Ćwiczenie 3

Punkty $A = (\frac{- 10 + 3 \sqrt{2}}{2}, \frac{6 + 3 \sqrt{2}}{2})$ i $B = (\frac{- 10 - 3 \sqrt{2}}{2}, \frac{6 - 3 \sqrt{2}}{2})$ są punktami symetrycznymi pewnego okręgu względem jego środka. Przeciągnij w wyznaczone miejsce współrzędne środka tego okręgu.

$(-5, -3)$ , $(-3, 5)$ , $(- 5, 3)$ , $(5, -3)$

$C =$ ..............

R1arM1Dm1ojYE2

Ćwiczenie 4

Zaznacz współrzędne punktów, które są obrazami środka okręgu $o : {(x + 10)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ w symetrii środkowej względem punktu $C$ :

$C = (0, 2)$	$C = (1, 2)$	$C = (0, 0)$
$P' = (10, - 2)$ □	$P' = (12, - 2)$ □	$P' = (10, 2)$ □
$P' = (10, 2)$ □	$P' = (12, 2)$ □	$P' = (- 10, - 2)$ □
$P' = (-10, 2)$ □	$P' = (-12, -2)$ □	$P' = (10, -2)$ □

RmJyrK1rN9WyR2

Ćwiczenie 5

Okrąg o równaniu ${(x - 4)}^{2} + {(y - 10)}^{2} = 1$ jest obrazem okręgu o równaniu $x^{2} + y^{2} = 1$ w symetrii względem punktu o współrzędnych

$(2, 2)$
$(2, 5)$
$(5, 2)$
$(5, 5)$

R1aQWSAiMFmGw2

Ćwiczenie 6

Okrąg o równaniu ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ jest obrazem okręgu o równaniu ${(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ w pewnej symetrii środkowej. Środek symetrii tych okręgów leży w układzie współrzędnych

w ćw. $I$
w ćw. $II$
na osi $X$
na osi $Y$

Ćwiczenie 7

Wyznacz równanie obrazu okręgu o środku $S = (1, - 2)$ i promieniu $r = 1$ w symetrii środkowej względem punktu $C = (- 2, 3)$ .

Środek okręgu ma współrzędne $S = (1, - 2)$ . Wyznaczymy teraz współrzędne punktu $S' = (x', y')$ w symetrii względem punktu $C = (- 2, 3)$ .

Ponieważ

$\{\begin{array}{l} x' = 2 k - x \\ y' = 2 h - y \end{array}$

więc

$\{\begin{array}{l} x' = 2 \cdot (- 2) - 1 \\ y' = 2 \cdot 3 - (- 2) \end{array}$

$\{\begin{array}{l} x' = - 5 \\ y' = 8 \end{array}$ .

Zatem równanie okręgu ma postać:

${(x + 5)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 1$ .

Ćwiczenie 8

Okrąg o równaniu $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0$ przekształcono przez symetrię środkową względem punktu $C = (3, 1)$ . Napisz równanie otrzymanego obrazu. Podaj ilustrację graficzną.

Okrąg o równaniu $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0$ przekształcono przez symetrię środkową względem punktu $C = (3, 1)$ . Napisz równanie otrzymanego obrazu. Opisz ilustrację graficzną.

Wyznaczymy najpierw współrzędne środka $(a, b)$ tego okręgu i długość jego promienia $r$ . Korzystamy z równania ogólnego okręgu: $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ :

$\{\begin{array}{l} - 2 a = - 2 \\ - 2 b = 4 \\ c = - 20 \\ r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c} \end{array}$

$\{\begin{array}{l} a = 1 \\ b = - 2 \\ c = - 20 \\ r = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} - (- 20)} \end{array}$

$\{\begin{array}{l} a = 1 \\ b = - 2 \\ c = - 20 \\ r = 5 \end{array}$ .

Zatem środek okręgu o promieniu $r = 5$ ma współrzędne $S = (1, - 2)$ . Wyznaczymy teraz współrzędne punktu $S' = (x', y')$ w symetrii względem punktu $C = (3, 1)$ .

Ponieważ

$\{\begin{array}{l} x' = 2 k - x \\ y' = 2 h - y \end{array}$

więc

$\{\begin{array}{l} x' = 2 \cdot 3 - 1 \\ y' = 2 \cdot 1 - (- 2) \end{array}$

$\{\begin{array}{l} x' = 5 \\ y' = 4 \end{array}$ .

Zatem równanie okręgu ma postać:

${(x - 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ .

Natomiast równaniem ogólnym okręgu jest:

$x^{2} + y^{2} - 10 x - 8 y + 16 = 0$ .

Ilustracja graficzna:

RsB40AiWdflnv

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 8 do 12 i pionową osią y od minus 6 do dziesięć. W płaszczyźnie zaznaczono dwa okręgi i punkt. Okrąg pierwszy S ma równanie x−12+y+22=25, a jego środek S ma współrzędne nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Drugi okrąg S' ma równanie x−52+y−42=25 a jego środek ma współrzędne nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Punt C ma współrzędne nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Aplet

Dla nauczyciela