Zapisujemy warunki zbieżności szeregu

$\left|3x^2-5x+1\right|<1$,

$-1<3x^2-5x+1$ i $3x^2-5x+1<1$,

$0<3x^2-5x+2$ i $3x^2-5x<0$,

$0<\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$ i $x\left(3x-5\right)<0$,

$x\in \left(-\infty ,\frac{2}{3}\right)\cup \left(1,+\infty \right)$ i $x\in \left(0,\frac{5}{3}\right)$.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór

$\left(0,\frac{2}{3}\right)\cup \left(1,\frac{5}{3}\right)$.

Funkcja ma wzór

$f\left(x\right)=\frac{1}{1-\left(3x^2-5x+1\right)}$,

$f\left(x\right)=\frac{1}{-3x^2+5x}$.

Równanie $f\left(x\right)=a$ ma zatem postać

$\frac{1}{-3x^2+5x}=a$.

Dla $a=0$ równanie nie ma rozwiązań. Możemy przekształcić

$-3x^2+5x=\frac{1}{a}$.

Narysujmy wykres funkcji $y=-3x^2+5x$ w wyznaczonej wcześniej dziedzinie.

R1GVGwICxJ0iS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $y=-3x^2+5x$ w dziedzinie $\left(0,\frac{2}{3}\right)\cup \left(1,\frac{5}{3}\right)$. Wykresem tej funkcji w podanej dziedzinie są dwa obcięte ramiona paraboli skierowane w dół. Lewe ramię ograniczone jest od dołu niezamalowanym punktem $\left(0;0\right)$, a od góry niezamalowanym punktem $\left(\frac{2}{3};2\right)$. Prawe ramię ograniczone jest od góry niezamalowanym punktem $\left(1;2\right)$, a od dołu niezamalowanym punktem $\left(\frac{5}{3};0\right)$.

Jeżeli $0<\frac{1}{a}<2$, to równanie ma dwa rozwiązania.

Zatem dla $a>\frac{1}{2}$ równanie ma dwa rozwiązania.

Dla pozostałych wartości parametru $a$ równanie nie ma rozwiązań.