Zauważ, że siatka składa się z jednego trójkąta równobocznego oraz trzech przystających trójkątów prostokątnych.
Zauważmy, że możemy dany czworościan rozważać jako ostrosłup trójkątny o podstawie .
Wówczas trójkąty , oraz są ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
Co więcej wysokość ostrosłupa jest równa długości każdego z odcinków oraz , czyli .
Pole podstawy ostrosłupa jest równe .
Zatem objętość ostrosłupa to .
Rn3kyBiQEF7ih1
Ćwiczenie 3
Połącz w pary czworościany z ich cechami charakterystycznymi. Czworościan foremny Możliwe odpowiedzi: 1. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, zaś podstawa jest trójkątem równobocznym, 2. Wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi, 3. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi Ostrosłup prosty Możliwe odpowiedzi: 1. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, zaś podstawa jest trójkątem równobocznym, 2. Wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi, 3. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi Ostrosłup prawidłowy Możliwe odpowiedzi: 1. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, zaś podstawa jest trójkątem równobocznym, 2. Wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi, 3. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi
Połącz w pary czworościany z ich cechami charakterystycznymi. Czworościan foremny Możliwe odpowiedzi: 1. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, zaś podstawa jest trójkątem równobocznym, 2. Wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi, 3. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi Ostrosłup prosty Możliwe odpowiedzi: 1. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, zaś podstawa jest trójkątem równobocznym, 2. Wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi, 3. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi Ostrosłup prawidłowy Możliwe odpowiedzi: 1. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, zaś podstawa jest trójkątem równobocznym, 2. Wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi, 3. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi
Połącz w pary czworościany z ich cechami charakterystycznymi.
ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi, ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, zaś podstawa jest trójkątem równobocznym
czworościan foremny
ostrosłup prosty trójkątny
ostrosłup prawidłowy trójkątny
2
Ćwiczenie 4
Poniżej narysowane są siatki pewnych czworościanów. Do każdego czworościanu przeciągnij i upuść jego nazwy oraz własności. Różne litery oznaczają różne wielkości.
RfPsJiHW5rz0V
R17ms8RysjNxd
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
Wszystkie ściany mają takie samo pole., Ma dokładnie trzy krawędzie tej samej długości., Jest ostrosłupem prostym., Jest czworościanem foremnym., Wszystkie ściany mają takie samo pole., Jest ostrosłupem prawidłowym., Jest ostrosłupem prawidłowym., Ma dokładnie trzy krawędzie tej samej długości., Jest ostrosłupem prawidłowym., Ma dokładnie trzy krawędzie tej samej długości., Ma cztery krawędzie długości <span aria-label="b" role="math"><math><mi>b</mi></math></span> oraz dwie krawędzie długości <span aria-label="a" role="math"><math><mi>a</mi></math></span>.
siatka 1
siatka 2
siatka 3
siatka 4
siatka 5
2
Ćwiczenie 5
Jaka jest objętość czworościanu, którego krawędzie zawierają się w przekątnych ścian sześcianu o krawędzi ?
Wyróżnijmy najpierw przekątne sześcianu, które mogą być krawędziami czworościanu:
REv6iTcbe15PV
Aby obliczyć objętość czworościanu wystarczy od objętości sześcianu odjąć objętości czterech czworościanów, których trzy ściany zawierają się w ścianach sześcianu, czyli
.
Można zauważyć, że objętość każdego z czworościanów , , i jest równa objętości sześcianu, zaś objętość czworościanu jest równa objętości sześcianu (niezależnie od długości jego krawędzi).
R11GkxWr4zDlC2
Ćwiczenie 6
Łączenie par. Rozwiąż test. Oceń poprawność zdań.. A. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. A. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. A. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. A. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Łączenie par. Rozwiąż test. Oceń poprawność zdań.. A. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. A. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. A. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. A. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Rozwiąż test. Oceń poprawność zdań.
Zdanie
Prawda
Fałsz
Objętość kuli opisanej na czworościanie foremnym jest większa niż objętość tego czworościanu.
□
□
Środek kuli wpisanej w czworościan jest równoodległy od wszystkich wierzchołków tego czworościanu.
□
□
Środek kuli opisanej na czworościanie leży zawsze wewnątrz tego czworościanu.
□
□
Środek kuli opisanej na czworościanie jest równoodległy od wierzchołków tego czworościanu.
□
□
3
Ćwiczenie 7
Udowodnij, że jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa trójkątnego mają równe długości, to jest to ostrosłup prosty.
Niech podstawą ostrosłupa będzie trójkąt . Niech będzie spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka na płaszczyznę .
Z treści zadania mamy: .
Ponadto jest wysokością ostrosłupa i jednocześnie wspólnym bokiem trójkątów , i .
Zatem każdy z kątów , i jest prosty.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów , i otrzymujemy, że odcinki , i mają równe długości.
Oznacza to, że punkty , , leżą na okręgu o środku .
Zatem spodek wysokości pokrywa się z środkiem okręgu opisanego na trójkącie , więc ostrosłup jest prosty.
3
Ćwiczenie 8
Dany jest czworościan . Krawędzie wychodzące z wierzchołka tego czworościanu są parami prostopadłe. Wykaż, że kwadrat pola trójkąta jest równy sumie kwadratów pól trójkątów , oraz .