Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RbhGAQ1ythHCl

R1ZZkyVo0Csdc

Ćwiczenie 2

Dana jest siatka pewnego czworościanu.

R15RjKWvMt7wK

Na ilustracji przedstawiono siatkę czworościanu. Siatka składa się z trójkąta równobocznego ABC, o boku długości cztery. Na każdym z boków trójkąta równobocznego, znajduje się trójkąt równoramienny o ramionach równych 22.

Oblicz objętość tego czworościanu.

Zauważ, że siatka składa się z jednego trójkąta równobocznego oraz trzech przystających trójkątów prostokątnych.

Zauważmy, że możemy dany czworościan rozważać jako ostrosłup trójkątny o podstawie $A B K$ .

Wówczas trójkąty $A B C$ , $B C L$ oraz $A C J$ są ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Co więcej wysokość ostrosłupa jest równa długości każdego z odcinków $C J$ oraz $C L$ , czyli $2 \sqrt{2}$ .

Pole podstawy $A B K$ ostrosłupa jest równe $\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2} = 4$ .

Zatem objętość ostrosłupa to $V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 2 \sqrt{2} = \frac{8 \sqrt{2}}{3}$ .

Rn3kyBiQEF7ih1

Ćwiczenie 3

Połącz w pary czworościany z ich cechami charakterystycznymi.

ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, wszystkie ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi, ściany boczne są trójkątami równoramiennymi, zaś podstawa jest trójkątem równobocznym

czworościan foremny
ostrosłup prosty trójkątny
ostrosłup prawidłowy trójkątny

Ćwiczenie 4

Poniżej narysowane są siatki pewnych czworościanów. Do każdego czworościanu przeciągnij i upuść jego nazwy oraz własności. Różne litery oznaczają różne wielkości.

RfPsJiHW5rz0V

Na ilustracji przedstawiono siatki pięciu czworościanów. Siatka pierwsza. Składa się z trójkąta równobocznego o boku długości a. Do każdego boku trójkąta równobocznego przylega kolejny trójkąt równoboczny o boku długości a. Siatka druga. Składa się z czterech trójkątów równoramiennych o ramieniu długości b, i podstawie długości a. Trójkąty przylegają do siebie szeregowo, ramieniem b. Siatka trzecia. Składa się z trójkąta równobocznego długości a. Do każdego z boków trójkąta równobocznego przylega trójkąt równoramienny, prostokątny, o ramieniu długości b. Siatka czwarta. Składa się z trójkąta równobocznego o boku długości a. Do każdego boku trójkąta równobocznego, przylega trójkąt równoramienny o ramieniu długości b. Siatka piąta. Składa się z trójkąta różnobocznego o bokach długości a, b, c. Do każdego boku trójkąta, przylega trójkąt równoramienny o boku długości d.

R17ms8RysjNxd

Wszystkie ściany mają takie samo pole., Ma dokładnie trzy krawędzie tej samej długości., Jest ostrosłupem prostym., Jest czworościanem foremnym., Wszystkie ściany mają takie samo pole., Jest ostrosłupem prawidłowym., Jest ostrosłupem prawidłowym., Ma dokładnie trzy krawędzie tej samej długości., Jest ostrosłupem prawidłowym., Ma dokładnie trzy krawędzie tej samej długości., Ma cztery krawędzie długości <span aria-label="b" role="math"><math><mi>b</mi></math></span> oraz dwie krawędzie długości <span aria-label="a" role="math"><math><mi>a</mi></math></span>.

siatka 1
siatka 2
siatka 3
siatka 4
siatka 5

Ćwiczenie 5

Jaka jest objętość czworościanu, którego krawędzie zawierają się w przekątnych ścian sześcianu o krawędzi $6$ ?

Wyróżnijmy najpierw przekątne sześcianu, które mogą być krawędziami czworościanu:

REv6iTcbe15PV

Na ilustracji przedstawiono sześcian o podstawie dolnej ABCD, oraz górnej IJKL. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek K, nad wierzchołkiem B, wierzchołek L, nad wierzchołkiem C, wierzchołek I, nad wierzchołkiem D, wierzchołek J. Linią ciągłą zaznaczono przekątne AL, CL, oraz JL. Linią przerywaną przekątne AJ, CJ, AC.

Aby obliczyć objętość czworościanu wystarczy od objętości sześcianu odjąć objętości czterech czworościanów, których trzy ściany zawierają się w ścianach sześcianu, czyli

$V_{A C L J} = V_{A B C D I J K L} - (V_{A B C L} + V_{A C D J} + V_{I J L C} + V_{J K L A}) = 6^{3} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 =$

$= 216 - 144 = 72$ .

Można zauważyć, że objętość każdego z czworościanów $A B C L$ , $A C D J$ , $I J L C$ i $J K L A$ jest równa $\frac{1}{6}$ objętości sześcianu, zaś objętość czworościanu $A C L J$ jest równa $\frac{1}{3}$ objętości sześcianu (niezależnie od długości jego krawędzi).

R11GkxWr4zDlC2

Ćwiczenie 6

Rozwiąż test. Oceń poprawność zdań.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Objętość kuli opisanej na czworościanie foremnym jest większa niż objętość tego czworościanu.	□	□
Środek kuli wpisanej w czworościan jest równoodległy od wszystkich wierzchołków tego czworościanu.	□	□
Środek kuli opisanej na czworościanie leży zawsze wewnątrz tego czworościanu.	□	□
Środek kuli opisanej na czworościanie jest równoodległy od wierzchołków tego czworościanu.	□	□

Ćwiczenie 7

Udowodnij, że jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa trójkątnego mają równe długości, to jest to ostrosłup prosty.

Niech podstawą ostrosłupa $A B C D$ będzie trójkąt $A B C$ . Niech $S$ będzie spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $D$ na płaszczyznę $A B C$ .

Z treści zadania mamy: $|A D| = |B D| = |C D|$ .

Ponadto $D S$ jest wysokością ostrosłupa i jednocześnie wspólnym bokiem trójkątów $D S A$ , $D S B$ i $D S C$ .

Zatem każdy z kątów $D S A$ , $D S B$ i $D S C$ jest prosty.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów $D S A$ , $D S B$ i $D S C$ otrzymujemy, że odcinki $S A$ , $S B$ i $S C$ mają równe długości.

Oznacza to, że punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu o środku $S$ .

Zatem spodek wysokości pokrywa się z środkiem okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ , więc ostrosłup jest prosty.

Ćwiczenie 8

Dany jest czworościan $A B C D$ . Krawędzie wychodzące z wierzchołka $D$ tego czworościanu są parami prostopadłe. Wykaż, że kwadrat pola trójkąta $A B C$ jest równy sumie kwadratów pól trójkątów $A D C$ , $B D C$ oraz $A D B$ .

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

R5CrVpO3eD4tx

Na ilustracji przedstawiono czworościan ABCD. Bok AD oznaczono małą literą a, bok DC oznaczono małą literą c, natomiast bok BD oznaczono małą literą b. Krawędzie wychodzące z wierzchołka D czworościanu są parami prostopadłe.

Rv2xoiOf0GdjB

Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać poprawne rozwiązanie zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Teraz jesteśmy już gotowi wyrazić pole trójkąta ABC w zależności od a, b, c:, 2. P_ABC=1/2|BH|⋅|AC|=1/2⋅√((a^2 c^2+b^2 c^2+a^2 b^2)/(a^2+c^2 ))⋅√(a^2+c^2 )=1/2 √(a^2 c^2+b^2 c^2+a^2 b^2 ), 3. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach BHA i BHC otrzymujemy równania:, 4. Po odjęciu powyższych równań stronami otrzymujemy x=a^2/√(a^2+c^2 ). Zaś po podstawieniu wyznaczonego x do wybranego z nich mamy, 5. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach BCD, BDA oraz ADC mamy:, 6. Mając dane długości odcinków AB, CA i BC, możemy obliczyć wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka B., 7. Aby go osiągnąć, obliczymy długości odcinków BC, CA i AB w zależności od a, b, c., 8. Teraz naszym celem jest pokazanie, że kwadrat pola trójkąta ABC jest równy 1/4(a^2 c^2+b^2 c^2+a^2 b^2)., 9. Powyższe wyrażenie po uproszczeniu przyjmuje postać 1/4(a^2 c^2+b^2 c^2+a^2 b^2)., 10. h^2+x^2=a^2+b^2 oraz h^2+(√(a^2+c^2 )-x)^2=b^2+c^2, 11. |AB|=√(a^2+b^2 ),|CA|=√(a^2+c^2 ),|BC|=√(b^2+c^2 )., 12. Zauważmy najpierw, że przy przyjętych oznaczeniach suma kwadratów pól trójkątów

A D C

B D C

oraz

A D B

jest równa

{P^{2}}_{A D C} + {P^{2}}_{B D C} + {P^{2}}_{A D B} = {(\frac{1}{2} a c)}^{2} + {(\frac{1}{2} b c)}^{2} + (\frac{1}{2} a b)

, 13. W tym celu oznaczmy spodek tej wysokości przez H, jej długość przez h oraz |AH|=x. Wówczas |CH|=|CA|-x=√(a^2+c^2 )-x., 14. h=√((a^2 c^2+b^2 c^2+a^2 b^2)/(a^2+c^2 )), 15. Wobec powyższego kwadrat pola trójkąta ABC jest równy 1/4(a^2 c^2+b^2 c^2+a^2 b^2), co dowodzi tezy twierdzenia.

Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać poprawne rozwiązanie zadania.

$h = \sqrt{\frac{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2}}{a^{2} + c^{2}}}$
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach $B H A$ i $B H C$ otrzymujemy równania:
Teraz jesteśmy już gotowi wyrazić pole trójkąta $A B C$ w zależności od $a$ , $b$ , $c$ :
$P_{A B C} = \frac{1}{2} "|"B H"|" \cdot "|"A C"|" = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2}}{a^{2} + c^{2}}} \cdot \sqrt{a^{2} + c^{2}} =$
$= \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2}}$
Wobec powyższego kwadrat pola trójkąta $A B C$ jest równy $\frac{1}{4} (a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2})$ , co dowodzi tezy twierdzenia.
Teraz naszym celem jest pokazanie, że kwadrat pola trójkąta $A B C$ jest równy $\frac{1}{4} (a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2})$ .
Powyższe wyrażenie po uproszczeniu przyjmuje postać $\frac{1}{4} (a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} b^{2})$ .
Aby to osiągnąć, wyznaczamy długości odcinków $B C$ , $C A$ i $A B$ w zależności od $a$ , $b$ , $c$ .
Mając dane długości odcinków $A B$ , $C A$ i $B C$ , możemy obliczyć wysokość trójkąta $A B C$ poprowadzoną z wierzchołka $B$ .
$h^{2} + x^{2} = a^{2} + b^{2}$ oraz $h^{2} + {(\sqrt{a^{2} + c^{2}} - x)}^{2} = b^{2} + c^{2}$
Po odjęciu powyższych równań stronami otrzymujemy $x = \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + c^{2}}}$ . Zaś po podstawieniu wyznaczonego $x$ do wybranego z nich mamy:
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach $B C D$ , $B D A$ oraz $A D C$ mamy:
$"|"A B"|" = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , $"|"C A"|" = \sqrt{a^{2} + c^{2}}$ , $"|"B C"|" = \sqrt{b^{2} + c^{2}}$ .
W tym celu oznaczmy spodek tej wysokości przez $H$ , jej długość przez $h$ oraz $"|"A H"|" = x$ .
Wówczas $"|"C H"|" = "|"C A"|" - x = \sqrt{a^{2} + c^{2}} - x$ .
Zauważmy najpierw, że przy przyjętych oznaczeniach suma kwadratów pól trójkątów $A D C$ , $B D C$ oraz $A D B$ jest równa
$P_{A D C}^{2} + P_{B D C}^{2} + P_{A D B}^{2} = {(\frac{1}{2} a c)}^{2} + {(\frac{1}{2} b c)}^{2} + {(\frac{1}{2} a b)}^{2}$ .

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela