Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R55TBp6aIztAa1

Ćwiczenie 1

Jeśli okrąg o równaniu $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ jest opisany na trójkącie o wierzchołkach $A = (1, 3)$ , $B = (2, 1)$ i $C = (0, 0)$ , to:

$"{"\begin{array}{c} 1 + 9 - 2 a - 6 b + c = 0 \\ 4 + 1 - 4 a - 2 b + c = 0 \\ c = 0 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 1 + 9 + 2 a + 6 b + c = 0 \\ 4 + 1 - 4 a - 2 b + c = 0 \\ c = 0 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 1 + 9 + 2 a + 6 b + c = 0 \\ 4 + 1 + 4 a + 2 b + c = 0 \\ c = 0 \end{array}""$

R1eLRzDUKWZ541

Ćwiczenie 2

Równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach $(0, 0)$ , $(3, \sqrt{3})$ , $(4, 0)$ ma postać:

$x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$
$x^{2} + y^{2} + 4 x = 0$
$x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$

R1OJRDVbEj1dF1

Ćwiczenie 3

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A = (- 1, 3)$ , $B = (5, 1)$ i $C = (- 3, 7)$ . Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe:

Środek okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ ma współrzędne $S = (4, 8)$
Promień okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ ma długość $6 \sqrt{2}$
Równanie okręgu ma postać: ${(x - 4)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 50$
Równanie okręgu ma postać: ${(x - 4)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 72$
Promień okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ ma długość $5 \sqrt{2}$

RLP6hfFzVaWbe2

Ćwiczenie 4

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A = (3, 4)$ , $B = (0, - 5)$ , $C = (- 2, - 1)$ . Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe:

Równanie okręgu ma postać: ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 25$
Równanie okręgu ma postać: $x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y - 15 = 0$
Równanie okręgu ma postać: ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$
Równanie okręgu ma postać: $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 15 = 0$

R18j1B0W8nQtY2

Ćwiczenie 5

Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach:

A = (4, - 3)

B = (5, 0)

C = (2, - 3)

. Uzupełnij brakujące elementy w rozwiązaniu. Korzystamy z równania 1.

12 - 4 a + 0 b = 0

, 2.

5

, 3.

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}

, 4.

a = 3

, 5.

- 1

, 6.

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

, 7.

20

, 8.

a = \frac{1}{2}

, 9.

\frac{3}{2}

, 10.

x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 5 = 0

, 11.

- 6

, 12.

4 a = 12

.

Otrzymujemy układ równań:

\{\begin{cases} 16 + 9 - 8 a + 6 b + c = 0 (1) \\ 25 - 10 a + c = 0 (2) \\ 4 + 9 - 4 a + 6 b + c = 0 (3) \end{cases}

Z równania

(1)

(3)

odejmujemy stronami:
1.

12 - 4 a + 0 b = 0

, 2.

5

, 3.

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}

, 4.

a = 3

, 5.

- 1

, 6.

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

, 7.

20

, 8.

a = \frac{1}{2}

, 9.

\frac{3}{2}

, 10.

x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 5 = 0

, 11.

- 6

, 12.

4 a = 12

Mamy zatem:
1.

12 - 4 a + 0 b = 0

, 2.

5

, 3.

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}

, 4.

a = 3

, 5.

- 1

, 6.

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

, 7.

20

, 8.

a = \frac{1}{2}

, 9.

\frac{3}{2}

, 10.

x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 5 = 0

, 11.

- 6

, 12.

4 a = 12

12 - 4 a + 0 b = 0

, 2.

5

, 3.

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}

, 4.

a = 3

, 5.

- 1

, 6.

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

, 7.

20

, 8.

a = \frac{1}{2}

, 9.

\frac{3}{2}

, 10.

x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 5 = 0

, 11.

- 6

, 12.

4 a = 12

Stąd:

c =

12 - 4 a + 0 b = 0

, 2.

5

, 3.

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}

, 4.

a = 3

, 5.

- 1

, 6.

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

, 7.

20

, 8.

a = \frac{1}{2}

, 9.

\frac{3}{2}

, 10.

x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 5 = 0

, 11.

- 6

, 12.

4 a = 12

b =

12 - 4 a + 0 b = 0

, 2.

5

, 3.

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}

, 4.

a = 3

, 5.

- 1

, 6.

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

, 7.

20

, 8.

a = \frac{1}{2}

, 9.

\frac{3}{2}

, 10.

x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 5 = 0

, 11.

- 6

, 12.

4 a = 12

Równanie okręgu ma zatem postać:
1.

12</mn>-4a+0b=0

, 2.

5

, 3.

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}

, 4.

a = 3

, 5.

- 1

, 6.

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

, 7.

20

, 8.

a = \frac{1}{2}

, 9.

\frac{3}{2}

, 10.

x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 5 = 0

, 11.

- 6

, 12.

4 a = 12

Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach: $A = (4, - 3)$ , $B = (5, 0)$ , $C = (2, - 3)$ . Uzupełnij brakujące elementy w rozwiązaniu.

$a = 3$ , ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , $\frac{3}{2}$ , $- 6$ , $a = \frac{1}{2}$ , $- 1$ , $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 5 = 0$ , " close="">16+9-8a+6b+c=0 125-10a+c=0 24+9-4a+6b+c=0 3

Z równania $(1)$ i $(3)$ odejmujemy stronami:
{ $12 - 4 a + 0 b = 0$ , $4 a = 12$ , $5$ , $20$ , $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$

Korzystamy z równania ...............................................................................................................................................................................................................................

Otrzymujemy układ równań:

$"..............................................................................................................................................................................................................................<br) Mamy zatem:
..............................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................

Stąd:$ $c =$ .............................................................................................................................................................................................................................. i $b =$ ..............................................................................................................................................................................................................................

Równanie okręgu ma zatem postać:
..............................................................................................................................................................................................................................

Ćwiczenie 6

Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach: $A = (2, 0)$ , $B = (1, 1)$ , $C = (0, 0)$ .

Korzystamy z równania $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ .

Otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 4 - 4 a + c = 0 (1) \\ 1 + 1 - 2 a - 2 b + c = 0 (2) \\ c = 0 (3) \end{cases}$

Stąd:

$a = 1$ .

Mamy również:

$2 - 2 - 2 b = 0$

czyli:

$b = 0$

Równanie okręgu ma zatem postać:

$x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ .

Ćwiczenie 7

Dany jest trójkąt o wierzchołkach: $A = (- 4, 3)$ , $B = (- 6, - 3)$ , $C = (0, - 5)$ . Wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.

Korzystamy z równania $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ i otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 16 + 9 + 8 a - 6 b + c = 0 (1) \\ 36 + 9 + 12 a + 6 b + c = 0 (2) \\ 25 + 10 b + c = 0 (3) \end{cases}$

Równania $(1)$ i $(2)$ odejmujemy stronami:

$25 + 8 a - 6 b + c - 45 - 12 a - 6 b - c = 0$

Mamy zatem:

$- 4 a - 12 b = 20$

czyli:

$a = - 3 b - 5$

Z równania $(3)$ wyznaczamy $c$ :

$c = - 10 b - 25$

Podstawiamy wyznaczone $a$ i $c$ do równania $(1)$ i mamy:

$25 + 8 (- 3 b - 5) - 6 b - 10 b - 25 = 0$

co daje:

$- 40 b - 40 = 0$

$b = - 1$

W rezultacie: $a = - 3 \cdot (- 1) - 5 = - 2$ i $c = - 10 \cdot (- 1) - 25 = - 15$

Równanie okręgu ma zatem postać: $x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y - 15 = 0$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach: $A = (9, - 1)$ , $B = (1, 5)$ i $C = (10, 2)$ .

Korzystamy z równania $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ i otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 81 + 1 - 18 a + 2 b + c = 0 (1) \\ 1 + 25 - 2 a - 10 b + c = 0 (2) \\ 100 + 4 - 20 a - 4 b + c = 0 (3) \end{cases}$

Równania $(1)$ i $(3)$ odejmujemy stronami:

$82 - 18 a + 2 b + c - 104 + 20 a + 4 b - c = 0$

Mamy zatem:

$2 a + 6 b = 22$

czyli:

$a = 11 - 3 b$

Podstawiamy wyznaczone $a$ do równania $(2)$ i mamy:

$26 - 2 (11 - 3 b) - 10 b + c = 0$

co daje:

$c = 4 b - 4$

Wyznaczone $a$ i $c$ podstawiamy do równania $(1)$ :

$82 - 18 (11 - 3 b) + 2 b + 4 b - 4 = 0$

$82 - 198 + 54 b + 2 b + 4 b - 4 = 0$

$60 b = 120$

$b = 2$

W rezultacie: $a = 11 - 3 \cdot 2 = 5$ i $c = 4 \cdot 2 - 4 = 4$

Równanie okręgu ma zatem postać:

$x^{2} + y^{2} - 10 x - 4 y + 4 = 0$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela