Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Uzasadnij, że jeśli wysokość trójkąta prostokątnego $A B C$ , poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli ten trójkąt na dwa trojkąty o równych polach, to trójkąt $A B C$ jest równoramienny.

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

RdMWosHFfNLp1

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych AC, BC, oraz przeciwprostokątnej AB. Na przeciwprostokątnej AB, zaznaczono punkt D, który połączono z wierzchołkiem A. Kąt CDA jest kątem prostym.

Trójkąty $C D A$ oraz $C D B$ mają wspólną przyprostokątną $C D$ . Z równości ich pól (pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu długości przyprostokątnych) wynika, że $|B D| = |A D|$ . Zatem na mocy drugiej cechy przystawania trójkątów prostokątnych mamy, że $△ A D C \equiv △ B D C$ . Stąd w szczególności wynika równość kątów $C A D$ oraz $C B D$ . To kończy dowód.

Ćwiczenie 2

Wykaż, że dwusieczna kąta jest zbiorem punktów równo odległych od jego ramion.

Rozważmy dowolny kąt o wierzchołku w punkcie $W$ i poprowadźmy jego dwusieczną, jak na rysunku.

RlvV7c1iIIgRZ

Na ilustracji przedstawiono kąt o wierzchołku w punkcie W. Na jego ramionach zaznaczono punkty R, oraz Q. Poprowadzono dwusieczną kąta, na której zaznaczono punkt P. Połączono punkt R, P oraz Q.

Niech $P$ będzie dowolnym punktem leżącym na tej dwusiecznej. Rozważmy punkty $Q$ , $R$ leżące odpowiednio na ramionach kąta, takie, że $|∢ W R P| = |∢ W Q P| = 90 °$ . Wtedy trójkąty $W Q P$ oraz $W R P$ są trójkątami o wspólnej przeciwprostokątnej, w których jeden z kątów ostrych ma taką samą miarę. Na mocy czwartej cechy przystawania trójkątów prostokątnych, trójkąty te są przystające. W szczególności $|P Q| = |P R|$ . To kończy dowód.

RNPnmxL4Izj9O1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Rozważmy trójkąt prostokątny $A B C$ , o przeciwprostokątnej $A B$ długości $12$ . Na boku $A B$ leżą wierzchołki $E$ , $F$ kwadratu o polu równym $16$ , którego dwa pozostałe wierzchołki leżą odpowiednio na pozostałych bokach danego trójkąta, jak na rysunku.

RHSVlP5gmVx4j

IlustracjaNa ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnej AC zaznaczono punkt D. Na przyprostokątnej BC zaznaczono punkt G. Na przeciwprostokątnej AB zaznaczono punkt F oraz punkt E. Punkty zaznaczono w taki sposób, że po ich połączeniu powstał prostokąt, który zacieniowano.

Kwadrat wyznaczył trzy trójkąty prostokątne, z których dwa są przystające. Wyznacz pole trójkąta $A B C$ .

Mamy $|D E| = 4$ . Zauważmy, że tylko trójkąty $A D E$ oraz $B F G$ mogą być przystające. Oznaczmy $x = |A D| = |B G|$ . Wtedy $|B F| = \sqrt{x^{2} - 4^{2}} = |A E|$ . Ponieważ $|B F| + |E F| + |A E| = |A B|$ , więc $\sqrt{x^{2} - 4^{2}} + 4 + \sqrt{x^{2} - 4^{2}} = 12$ . Równanie, to możemy zapisać w postaci równoważnej $2 \sqrt{x^{2} - 4^{2}} = 8$ . Stąd $x^{2} - 16 = 16$ . Dodatnim rozwiązaniem ostatniego równania jest liczba $4 \sqrt{2}$ . Pozostaje zauważyć, że wówczas $|C G| = 2 \sqrt{2}$ , $|C D| = 2 \sqrt{2}$ . Zatem pole trójkąta $A B C$ jest równe $P_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2} \cdot 6 \sqrt{2} = 36$ .

R1bfGbEaN6KBj21

Ćwiczenie 5

RZMfHgn0V63U12

Ćwiczenie 6

RdIFb4pT8Ruxu3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

RkzkDeSdH3CAS

RF8QKx0Mjlptu

Aplet

Dla nauczyciela