Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1bDF93DF4y2F1

Ćwiczenie 1

Które prawo pozwala wyznaczyć stałą w III prawie Keplera?

trzecia zasada dynamiki Newtona
prawo powszechnego ciążenia
druga zasada dynamiki Newtona
pierwsza zasada dynamiki Newtona

RyWCYa0xSNXYa1

Ćwiczenie 2

Które z poniższych znanych stałych określają stałą wartość w III prawie Keplera dla Układu Słonecznego?

stała grawitacji G
masa Słońca M
masa planety m
ekscentryczność orbity e

Ćwiczenie 3

Wylicz stałą w III prawie Keplera dla Układu Słonecznego w jednostce [ $\frac{s^{2}}{m^{3}}$ ]. Podaj wynik w zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących.

Dane:

masa Słońca: M = 1,989 ⋅ 10Indeks górny 30 kg,

stała grawitacji: G = 6,674 ⋅ 10Indeks górny -11 $\frac{m^{3}}{kg s^{2}}$ .

RrSVeFSFBZCJi

$\frac{4 π^{2}}{GM}$ ≈ ............⋅ 10^-19 $\frac{s^{2}}{m^{3}}$

Stała określona jest wzorem: $\frac{4 π^{2}}{GM}$ , więc podstawiając dane otrzymujemy:

\frac{4 π^{2}}{G M} \approx 2, 97 \cdot 10^{- 19} \frac{s^{2}}{m^{3}}

R1JcrHOoxKKzp1

Ćwiczenie 4

Wpisz, które zdania są prawdziwe (P), a które fałszywe (F).

Kepler dzięki swoim obliczeniom potwierdził, że prawo powszechnego ciążenia działa również w kosmosie. ............

Prawo powszechnego ciążenia umożliwia matematyczne wyznaczenie wartości stałej w III prawie Keplera. ............

Kepler i Newton wspólnie pracowali nad wyznaczeniem zależności rządzącymi planetami w Układzie Słonecznym. ............

Zarówno prawo powszechnego ciążenia Newtona, jak i wszystkie trzy prawa Keplera mają zastosowanie we wszystkich znanych układach ciał. ............

R1Tu45qvXV53G1

Ćwiczenie 5

Zaznacz poprawne odpowiedzi w tekście:

W przypadku ruchu planety o masie m wokół gwiazdy centralnej o masie M zachodzi zależność {#M >> m} / {M = m} / {M << m}. Przez to odległość dużego ciała M od środka układu dąży do {nieskończoności} / {#zera}, ponieważ środek masy układu z bardzo dobrym przybliżeniem znajduje się w {#obrębie} / {bardzo dużej odległości od} ciała centralnego o masie M . Dlatego też, ruch ten upraszczamy w wielu obliczeniach do ruchu planety o masie m, wokół gwiazdy centralnej o masie M, pomijając tym samym ruch masy M wokół środka układu.

Ćwiczenie 6

R1WWAwatlVUQ4

Ziemia znajduje się w średniej odległości jednej jednostki astronomicznej (1 au) od Słońca. Przyjmując, że jest to orbita kołowa wyznacz prędkość liniową Ziemi w kilometrach na sekundę z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

Dane:
1 au = 14,96 ∙ 10⁷ km
masa Słońca M_S = 1,989 ∙ 10³⁰ kg
stała grawitacji G = 6,67 ∙ 10^-11 $\frac{m^{3}}{kg s^{2}}$

Odp.: v_Z = ............ km/s

Siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej, czyli:

\frac{G M_{S} m}{r^{2}} = \frac{m v_{Z}^{2}}{r}

$m$ oznacza masę Ziemi, $r$ - promień orbity, a $v_{Z}$ - wartość prędkości liniowej Ziemi.

Po przekształceniu otrzymujemy:

v_{Z} = \sqrt{\frac{G M_{S}}{r}}

Po wstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:

v_{Z} = \sqrt{\frac{6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{m^{3}}{k g s^{2}} \cdot 1, 989 \cdot 10^{30} k g}{14, 96 \cdot 10^{10} m}} \approx 29, 8 \frac{k m}{s}

Inny sposób:

$v_{Z} = \frac{2 π^{}}{T} r$ ze wzoru na prędkość liniową w ruchu po okręgu. Następnie z III prawa Keplera $T = 2 πr \sqrt{\frac{r}{GM}}$ . Podstawiając wzór na okres T do wzoru na prędkość po okręgu dostajemy zależność $v_{Z} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Ćwiczenie 7

R1E3FRphP09fS

Ćwiczenie 8

III prawo Keplera można stosować również do obliczania odległości w układach podwójnych. Są to układy, w których dwa ciała o masach mIndeks dolny A oraz mIndeks dolny B okrążają wspólny środek masy. W takim przypadku masa gwiazdy w III prawie Keplera jest zastępowana sumą mas składników takiego układu M = mIndeks dolny A + mIndeks dolny B . Wyznacz odległość r pomiędzy składowymi pewnego układu podwójnego, którego składnik A ma masę 0,7 mas Słońca, a składnik B ma masę 0,63 mas Słońca, a okres obiegu tego układu wynosi T = 653 dni.

Przyjmij, że: masa Słońca MIndeks dolny S = 1,989 ⋅ 10Indeks górny 30 kg, stała grawitacji G = 6,674 ⋅ 10Indeks górny -11 $\frac{m^{3}}{kg s^{2}}$ , jednostka astronomiczna 1 au = 14,96 ⋅ 10Indeks górny 7 km, pi = 3,14.

Podaj wynik w jednostkach astronomicznych z dokładnością do 3 miejsc znaczących.

R1dtGzDms9YMa

r = ............ au

Skorzystaj z zależności $\frac{T^{2}}{r^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G (m_{A} + m_{B})}$

Przekształcając wzór $\frac{T^{2}}{r^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G (m_{A} + m_{B})}$ tak, aby wyznaczyć z niego odległość r dostajemy zależność:

$r^{3} = \frac{G (m_{A} + m_{B})}{4 π^{2}} T^{2}$ . Masy oraz okres należy wyznaczyć w jednostkach SI:

mIndeks dolny A = 0,7 ⋅ 1,989 ⋅ 10Indeks górny 30 kg = 1,392 ⋅ 10Indeks górny 30 kg

mIndeks dolny B = 0,63 ⋅ 1,989 ⋅ 10Indeks górny 30 kg = 1,253 ⋅ 10Indeks górny 30 kg

T = 653 ⋅ 24 ∙ 60 ⋅ 60 = 56419200 s

Podstawiając wszystkie dane do powyższego wzoru na r dostajemy wartość
$r \approx 24, 24 \cdot 10^{7} k m \approx 1, 62 a u$ .

Film samouczek

Dla nauczyciela