Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Ćwiczenie 1

Niech γ będzie kątem rozwartym w trójkącie ABC wpisanym w okrąg o promieniu R, gdzie BD jest średnicą tego okręgu (jak na rysunku).

ep2019.contentplus.io:R1YiVL7Y0Mucy

Udowodnij, że csinγ=2R
Ułóż w odpowiedniej kolejności  elementy dowodu.

ep2019.contentplus.io:RuIs5OL2t6pkh
Elementy do uszeregowania: 1. Stąd csinδ=2R., 2. Ale wiemy, że sin180°-γ=sinγ, co kończy dowód., 3. Kąty wpisane δ oraz γ są oparte na łukach, które uzupełniają się do całego okręgu., 4. Trójkąt ABD jest rozpięty na średnicy, czyli jest prostokątny, zatem sinδ=c2R., 5. Stąd δ=12·360°-γ=180°-γ., 6. Zatem δ+γ=12·360°., 7. Widać, że dla dowodu wystarczy pokazać, że sinδ=sinγ.
RM7hrfx9WdVZ1
Ćwiczenie 2
W trójkącie o bokach a, b, c i kątach odpowiednio równych α, β, γ mamy ab=2. Wtedy Możliwe odpowiedzi: 1. cos2α=2cos2β, 2. 2cos2α=cos2β, 3. 2cos2β-cos2α=1, 4. 2cos2α-cos2β=1
R8k91kZZk6Poe
Ćwiczenie 3
W trójkącie o bokach a, b, c i kątach odpowiednio równych ,, mamy :2:1ab . Wtedy Możliwe odpowiedzi: 1. sdf, 2. sdf, 3. sdf, 4. sdf
R1CgcEJEamkeI
Ćwiczenie 4
Najdłuższy bok trójkąta ma długość 50 , a kąty mają miary 15°, 30°, 135° . Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy
Ćwiczenie 5

Dwa kąty trójkąta mają w sumie miarę 150°. Uzasadnij, że jeden z boków tego trójkąta ma długość równą promieniowi okręgu opisanego na tym trójkącie.

Ćwiczenie 6

W trójkącie o bokach a=12, b=15 kąt α, leżący naprzeciw boku a, ma miarę 30°. Korzystając z twierdzenia sinusów uzasadnij, że istnieją dwa trójkąty o takich własnościach.

Ćwiczenie 7

Uzasadnij, korzystając z twierdzenia sinusów, że istnieje tylko jeden trójkąt, którego boki miałyby długości: a=12, b=9 i w którym kąt α, leżący naprzeciw boku a, miałby miarę 30°.

Ćwiczenie 8

Dwa kąty ostre trójkąta mają miary 30° oraz 45°. Uzasadnij, że długości dwóch krótszych boków tego trójkąta nie mogą być jednocześnie liczbami wymiernymi.