Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Niech $γ$ będzie kątem rozwartym w trójkącie $A B C$ wpisanym w okrąg o promieniu $R$ , gdzie $B D$ jest średnicą tego okręgu (jak na rysunku).

R1Sto5kG2oKal

W okrąg wpisane są dwa trójkąty: BCA oraz BAD. Trójkąt BCA zamalowany jest na niebiesko. Jego bok BC wynosi a, bok CA wynosi b, bok AB wynosi c, natomiast kąt przy wierzchołku C wynosi γ. Trójkąt BAD ma wspólny bok z drugim trójkątem. Jest to bok BA równy c. Bok AD zaznaczony jest linią przerywaną. Bok DB równy jest średnicy okręgu. Przy wierzchołku D znajduje się kąt δ.

Udowodnij, że $\frac{c}{\sin γ} = 2 R$ .
Ułóż w odpowiedniej kolejności elementy dowodu.

RiqSf9kqePMx2

Elementy do uszeregowania: a) Trójkąt

A B D

jest rozpięty na średnicy, czyli jest prostokątny, zatem

\sin δ = \frac{c}{2 R}

., b) Kąty wpisane

δ

oraz

γ

są oparte na łukach, które uzupełniają się do całego okręgu., c) Zatem

δ + γ = \frac{1}{2} \cdot 360 °

., d) Ale wiemy, że

\sin (180 ° - γ) = \sin γ

, co kończy dowód., e) Widać, że dla dowodu wystarczy pokazać, że

\sin δ = \sin γ

., f) Stąd

\frac{c}{\sin δ} = 2 R

., g) Stąd

δ = \frac{1}{2} \cdot 360 ° - γ = 180 ° - γ

Widać, że dla dowodu wystarczy pokazać, że $\sin δ = \sin γ$ .
Kąty wpisane $δ$ oraz $γ$ są oparte na łukach, które uzupełniają się do całego okręgu.
Stąd $\frac{c}{\sin δ} = 2 R$ .
Ale wiemy, że $\sin (180 ° - γ) = \sin γ$ , co kończy dowód.
Zatem $δ + γ = \frac{1}{2} \cdot 360 °$ .
Stąd $δ = \frac{1}{2} \cdot 360 ° - γ = 180 ° - γ$ .
Trójkąt $A B D$ jest rozpięty na średnicy, czyli jest prostokątny, zatem $\sin δ = \frac{c}{2 R}$ .

RM7hrfx9WdVZ11

Ćwiczenie 2

W trójkącie o bokach $a$ , $b$ , $c$ i kątach odpowiednio równych $α$ , $β$ , $γ$ mamy $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ . Wtedy

$\cos^{2} α = 2 \cos^{2} β$
$2 \cos^{2} α = \cos^{2} β$
$2 \cos^{2} β - \cos^{2} α = 1$
$2 \cos^{2} α - \cos^{2} β = 1$

R8k91kZZk6Poe2

Ćwiczenie 3

W trójkącie o bokach $a$ , $b$ , $c$ i kątach odpowiednio równych $α$ , $β$ , $γ$ mamy $a : b = 2 : 1$ . Wtedy

$\sin α = \sin 2 β$
$\sin β = \sin 2 α$
$2 \sin α = \sin β$
$\sin α = 2 \sin β$

RqdxmokDd1vfK2

Ćwiczenie 4

Przeciągnij poprawne odpowiedzi. Najdłuższy bok trójkąta ma długość

\sqrt{50}

, a kąty mają miary

15 °

30 °

135 °

. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy: 1.

\sqrt{5}

, 2.

2 \sqrt{3}

, 3.

2

, 4.

2 \sqrt{5}

, 5.

5 \sqrt{2}

, 6.

5

, 7.

10

, 8.

5 \sqrt{3}

, 9.

10 \sqrt{2}

, 10.

1

.
Najdłuższy bok trójkąta ma długość

2 \sqrt{3}

, a kąty mają miary

20 °

40 °

120 °

. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy: 1.

\sqrt{5}

, 2.

2 \sqrt{3}

, 3.

2

, 4.

2 \sqrt{5}

, 5.

5 \sqrt{2}

, 6.

5

, 7.

10

, 8.

5 \sqrt{3}

, 9.

10 \sqrt{2}

, 10.

1

.
Najdłuższy bok trójkąta ma długość

\sqrt{20}

, a dwa jego kąty mają miary

35 °

55 °

. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy: 1.

\sqrt{5}

, 2.

2 \sqrt{3}

, 3.

2

, 4.

2 \sqrt{5}

, 5.

5 \sqrt{2}

, 6.

5

, 7.

10

, 8.

5 \sqrt{3}

, 9.

10 \sqrt{2}

, 10.

1

Ćwiczenie 5

Dwa kąty trójkąta mają w sumie miarę $150 °$ . Uzasadnij, że jeden z boków tego trójkąta ma długość równą promieniowi okręgu opisanego na tym trójkącie.

Oznaczmy przez $γ$ trzeci z kątów tego trójkąta. Wtedy $γ = 180 ° - 150 ° = 30 °$ . Ale $2 R = \frac{c}{\sin γ} = \frac{c}{\sin 30 °} = \frac{c}{\frac{1}{2}} = 2 c$ . Stąd teza.

Ćwiczenie 6

W trójkącie o bokach $a = 12$ , $b = 15$ kąt $α$ , leżący naprzeciw boku $a$ , ma miarę $30 °$ . Korzystając z twierdzenia sinusów uzasadnij, że istnieją dwa trójkąty o takich własnościach.

Zauważmy, że $\frac{12}{\sin 30 °} = \frac{15}{\sin δ}$ . Stąd $\sin δ = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} = 0, 625$ . Korzystając z tablic możemy odczytać, że $δ \approx 39 °$ . Ale $\sin (180 ° - 39 °) = \sin 141 °$ . Są zatem dwa takie trójkąty odpowiednio o kątach: $30 °$ , $39 °$ , $111 °$ oraz o kątach $30 °$ , $141 °$ , $9 °$

Ćwiczenie 7

Uzasadnij, korzystając z twierdzenia sinusów, że istnieje tylko jeden trójkąt, którego boki miałyby długości: $a = 12$ , $b = 9$ i w którym kąt $α$ , leżący naprzeciw boku $a$ , miałby miarę $30 °$ .

Zauważmy, że $\frac{12}{\sin 30 °} = \frac{9}{\sin δ}$ . Stąd $\sin δ = \frac{9}{24} = 0, 375$ . Korzystając z tablic możemy odczytać, że $δ \approx 22 °$ . Zatem trójkąt o kątach: $30 °$ , $22 °$ , $128 °$ spełnia warunki zadania. Oczywiście $\sin (180 ° - 22 °) = \sin 158 °$ . Jednak przypuszczenie, że z równości $\sin δ = 0, 375$ moglibyśmy wyznaczyć miarę kąta $δ$ jako $158 °$ prowadzi do sprzeczności, bowiem suma miar tylko dwóch kątów $α$ i $δ$ jest już większa niż $180 °$ .

Ćwiczenie 8

Dwa kąty ostre trójkąta mają miary $30 °$ oraz $45 °$ . Uzasadnij, że długości dwóch krótszych boków tego trójkąta nie mogą być jednocześnie liczbami wymiernymi.

Oznaczmy odpowiednio przez $a$ , $b$ długości boków leżących naprzeciw kątów $30 °$ oraz $45 °$ . Korzystając z twierdzenia sinusów mamy $\frac{a}{\sin 30 °} = \frac{b}{\sin 45 °}$ , czyli $\frac{b}{a} = \frac{\sin 45 °}{\sin 30 °} = \sqrt{2}$ . Ale liczba $\sqrt{2}$ jest niewymierna, więc nie da się jej przedstawić w postaci ilorazu liczb wymiernych.

Aplet

Dla nauczyciela