Sprawdź się - Trapez i jego własności - zpe.gov.pl

1

Pokaż ćwiczenia:

1

Ćwiczenie 1

Dany jest trapez $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ . Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie $P$ .

RLvGzpSzyQfg6

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD. Zaznaczono przekątne trapezu łączące wierzchołek A i C, oraz B i D. Przekątne przecinają się w punkcie P.

RUzR7MQl0nrxK

Zaznacz prawdziwe zdania.

$"|"A P"|" \cdot "|"P D"|" = "|"B P"|" \cdot "|"P C"|"$
$| A P | \cdot | P C | = | B P | \cdot | P D |$
$\frac{| A P |}{| P C |} = \frac{| B P |}{| P D |}$
$\frac{| A P |}{| P D |} = \frac{| B P |}{| P C |}$
$| A B | \cdot | P D | = | B C | \cdot | P B |$

1

Ćwiczenie 2

Podstawy trapezu mają długości $|A B| = a$ i $|B C| = b$ , $(a > b)$ . Suma miar kątów wewnętrznych przy dłuższej podstawie wynosi $90 °$ . Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu.

Rqm4QoDyshPzN

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD. Dłuższą podstawę oznaczono a, natomiast krótszą b. Zaznaczono odcinek EF, łączący środki podstaw trapezu. Kąty między ramionami trapezu a podstawą wynoszą kolejno alfa i beta.

R1BFaPA6sGji9

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD. Dłuższą podstawę oznaczono a, natomiast krótszą b. Zaznaczono odcinek EF łączący środki podstaw trapezu. Kąty między ramionami trapezu a podstawą wynoszą kolejno alfa i beta. Po przedłużeniu ramion trapezu, przecinają się w punkcie S, pod kątem prostym.

Jeżeli suma kątów przy dłuższej podstawie jest równa $90 °$ , to przedłużenia ramion przecinają się pod kątem prostym.

Z podobieństwa trójkątów można pokazać, że środkowa $E S$ w trójkącie $A B S$ dzieli odcinek $C D$ na połowy. W takim razie odcinek, który mamy wyliczyć, to różnica środkowych $E S$ i $F S$ dwóch trójkątów prostokątnych $A B S$ i $C D S$ .

Ponieważ środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej, to długość środkowej w trójkącie prostokątnym jest równa połowie długości przeciwprostokątnej, więc szukana długość odcinka $E F$ wynosi

$|E F| = |E S| - |F S| = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a - b}{2}$ .

2

Ćwiczenie 3

Dany jest trapez, którego podstawy mają długości $2$ i $3$ , a przekątne długości $3$ i $4$ .

R1RsZL9EgGJWi

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD, którego podstawa AB jest równa 3, natomiast podstawa DC jest równa dwa. Zaznaczono przekątną BD równą trzy, oraz przekątną AC równą cztery.

RzpJggyWoJcVa

Pole trapezu jest równe:

$5$
$6$
$7$
$8$

2

Ćwiczenie 4

W trapezie prostokątnym $A B C D$ podstawy mają długości $|A B| = a$ i $|C D| = b$ (gdzie $a > b$ ), a wysokość $h$ . Oblicz odległość punktu przecięcia przekątnych trapezu od dłuższej podstawy.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RvI0tKTLjaoK7

Na ilustracji przedstawiono trapez prostokątny ABCD, którego przekątne AC i BD przecinają się w punkcie P. Zaznaczono wysokość EF trapezu, przechodzącą przez punkt P. Długość odcinka EP oznaczono y, natomiast długość odcinka FP oznaczono x.

Z podobieństwa trójkątów $A B P$ i $C D P$ (cecha kąt‑kąt‑kąt) mamy

$\frac{a}{b} = \frac{x}{y}$ .

Ponieważ $x + y = h$ , to $y = h - x$ .

Podstawiając do poprzedniego równania, otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą

$\frac{a}{b} = \frac{x}{h - x}$

$a h - a x = b x$ ,

czyli szukana wartość to

$x = \frac{a h}{a + b}$ .

RDUm9RKtEW3ZM2

Ćwiczenie 5

Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie P. Pole trapezu ABCD jest równe 32 oraz

\frac{A B}{C D} = 3

. Połącz w pary trójkąt z jego polem:

A B C

Możliwe odpowiedzi: 1. 18, 2. 2, 3. 6, 4. 8, 5. 24

B C D

Możliwe odpowiedzi: 1. 18, 2. 2, 3. 6, 4. 8, 5. 24

A B P

Możliwe odpowiedzi: 1. 18, 2. 2, 3. 6, 4. 8, 5. 24

C D P

Możliwe odpowiedzi: 1. 18, 2. 2, 3. 6, 4. 8, 5. 24

A P D

Możliwe odpowiedzi: 1. 18, 2. 2, 3. 6, 4. 8, 5. 24

Przekątne trapezu $A B C D$ przecinają się w punkcie $P$ . Pole trapezu $A B C D$ jest równe $32$ oraz $\frac{| A B |}{| C D |} = 3$ . Połącz w pary trójkąt z jego polem:

<span aria-label="sześć" role="math"><math><mn>6</mn></math></span>, <span aria-label="dwadzieścia cztery" role="math"><math><mn>24</mn></math></span>, <span aria-label="dwa" role="math"><math><mn>2</mn></math></span>, <span aria-label="osiem" role="math"><math><mn>8</mn></math></span>, <span aria-label="osiemnaście" role="math"><math><mn>18</mn></math></span>

$P_{A B C}$
$P_{B C D}$
$P_{A B P}$
$P_{C D P}$
$P_{A P D}$

Rh8zfSjZFYf5v2

Ćwiczenie 6

W trapezie $A B C D$ punkty $M$ i $N$ to odpowiednio środki podstaw $A B$ , $C D$ . Punkt $P$ jest punktem przecięcia przekątnych, a punkt $S$ punktem przecięcia przedłużeń ramion $B C$ i $A D$ . Uzupełnij dowód, że punkty $M$ , $P$ , $N$ , $S$ leżą na jednaj prostej.

$D C S$ , $S$ , $C D P$ , $A B$ , $S M$ , jest równoległa, $A B C$ , $N$ , $P$ , $D C P$ , izometrii, jednokładności, $C D$ , $M$ , $M$ , $A B P$

Na początku pokażemy, że punkty $M$ , $N$ , $P$ leżą na jednej prostej. Ponieważ trójkąt .................................. jest podobny do trójkąta .................................. to odpowiednie środkowe tych trójkątów $M P$ i $N P$ są nachylone pod tym samym kątem do podstawy $A B$ i ................................... Ponieważ prosta $A B$ .................................. do prostej $C D$ to proste $M P$ i $N P$ są równoległe i mają wspólny punkt - ................................... Zatem punkty $M$ , $P$ , $N$ leżą na jednej prostej.
Analogicznie pokażemy, że punkty .................................., $N$ , $S$ leżą na jednej prostej. Trójkąty $A B S$ i .................................. są podobne, więc ich odpowiednie środkowe .................................. i $S N$ są nachylone pod tym samym kątem do równoległych podstaw .................................. i $C D$ , zatem są równoległe oraz mają punkt wspólny - ................................... Zatem punkty $M$ , .................................., $S$ leżą na jednej prostej.
Otrzymujemy ostatecznie, że zarówno punkt $P$ jak i punkt $S$ są współliniowe z punktami $M$ i $N$ , co należało udowodnić.

Uwaga! Powyższe współliniowości można również udowodnić odwołując się do własności .................................. (o środku w punkcie $P$ i skali ujemnej oraz o środku w punkcie $S$ i skali dodatniej).

3

Ćwiczenie 7

Czworokąt $A B C D$ jest trapezem o podstawach $A B$ i $C D$ . Wykaż, że

${|A C|}^{2} + {|B D|}^{2} = {|A D|}^{2} + {|B C|}^{2} + 2 |A B| \cdot |D C|$ .

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku $|A B| = a$ , $|B C| = c$ , $|C D| = b$ , $|A D| = d$ , $|A C| = e$ , $|B D| = f$ , $|A E| = x$ , $|F B| = y$ . Wysokość trapezu - $h$ .

R1ViAsNaP2jLY

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD, którego dłuższą podstawę oznaczono a, natomiast krótszą b. Ramię AD oznaczono d, oraz ramię BC oznaczono c. Zaznaczono przekątną e trapezu łączącą wierzchołki A i C, oraz przekątną f, łączącą wierzchołki B i D. Linią przerywaną poprowadzono z wierzchołka D i C wysokości, których spodki leżą kolejno w punktach E i F, znajdujących się na podstawie AB. Długość odcinka AE oznaczono x, natomiast długość odcinka BF oznaczono y.

Przepiszmy tezę uwzględniając oznaczenia

$e^{2} + f^{2} = d^{2} + c^{2} + 2 a b$ .

Podstawiając za $a = x + b + y$ oraz korzystając z twierdzenia Pitagorasa (dla trójkątów $A F C$ , $E B D$ , $A E D$ , $F B C$ ) nasza teza przyjmuje postać

${(x + b)}^{2} + h^{2} + {(b + y)}^{2} + h^{2} = x^{2} + h^{2} + y^{2} + h^{2} + 2 (x + b + y) b$ .

Po odjęciu obustronnym wyrażenia $2 h^{2}$ i przekształceniu otrzymujemy równanie

$x^{2} + 2 x b + b^{2} + b^{2} + 2 b y + y^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x b + 2 b^{2} + 2 y b$ ,

które jest zawsze prawdziwe.

Wszystkie przekształcenia wykorzystane w powyższym dowodzie były równoważne, więc tym samym udowodniliśmy równość podaną w zadaniu.

3

Ćwiczenie 8

W trapezie $A B C D$ przekątne $A C$ i $B D$ przecinają się w punkcie $P$ . Niech pole trójkąta $A B P$ będzie równe $P_{1}$ , natomiast pole trójkąta $C D P$ będzie równe $P_{2}$ . Wyznacz pole trapezu $A B C D$ .

R197bzeOIBgrw

Na ilustracji przedstawiono trapez ABCD. Zaznaczono przekątne trapezu łączące wierzchołek A i C, oraz B i D. Przekątne przecinają się w punkcie P. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Pole zacieniowanego trójkąta APB oznaczono P1, pole zacieniowanego trójkąta DPC oznaczono P2, pole trójkąta DPA oznaczono P3, oraz pole trójkąta CPB oznaczono P4.

Przypomnijmy na początek jedną z własności trapezu, a mianowicie, że pola trójkątów $A P D$ i $B C P$ są równe, czyli $P_{3} = P_{4}$ (wynika to np. z równości pól $A B C$ i $A B D$ , czyli z równości $P_{1} + P_{3} = P_{1} + P_{4}$ ).

Zauważmy też, że stosunek pól dwóch trójkątów o tej samej wysokości jest równy stosunkowi ich podstaw, czyli

$\frac{P_{A P D}}{P_{P C D}} = \frac{|A P|}{|P C|} = \frac{P_{A P B}}{P_{P C B}}$ .

W naszym przypadku

$\frac{P_{3}}{P_{2}} = \frac{P_{1}}{P_{4}}$

$P_{3} \cdot P_{4} = P_{1} \cdot P_{2}$ .

Warto dodać, że otrzymując powyższą równość nie korzystaliśmy z własności trapezu, więc jest ona prawdziwa dla dowolnego czworokąta $A B C D$ .

W naszym przypadku prawdziwa jest jednak równość $P_{3} = P_{4}$ , więc otrzymujemy

$P_{3} = P_{4} = \sqrt{P_{1} \cdot P_{2}}$ .

Zatem szukane pole trapezu jest równe

$P = P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} = P_{1} + P_{2} + 2 \sqrt{P_{1} \cdot P_{2}} = {(\sqrt{P_{1}} + \sqrt{P_{2}})}^{2}$ .