Sprowadzamy wszystkie wyrażenia do logarytmów o tej samej podstawie.

$L=\frac{1}{{\log }_{2}3}+\frac{{\log }_{2}4}{{\log }_{2}3}+\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}3}=\frac{1+2+3}{{\log }_{2}3}=6{\log }_{3}2$

W liczbie ${\log }_{3}2$ podstawa jest większa od liczby logarytmowanej, zatem ${\log }_{3}2<1$. Wynika z tego, że $6{\log }_{3}2<6$, co należało wykazać.

${\log }_{4}6=\frac{\log 6}{\log 4}\approx \frac{0,8}{0,6}=\frac{4}{3}$

Zmień podstawę logarytmu ${\log }_{\sqrt{3}}16$ na $4$.

Następnie skorzystaj z wzoru na zmianę podstawy logarytmu i ze wzoru na logarytmu potęgi.

Zmieniamy podstawę logarytmu ${\log }_{\sqrt{3}}16$ na $4$.

${\log }_{4}81·{\log }_{\sqrt{3}}16={\log }_{4}81·\frac{{\log }_{4}16}{{\log }_4\sqrt{3}}$

Następnie liczby zapisujemy w postaci potęg.

${\log }_{4}81·{\log }_{\sqrt{3}}16={\log }_{4}81·\frac{{\log }_{4}16}{{\log }_4\sqrt{3}}={\log }_4{3}^4·\frac{{\log }_4{4}^2}{{\log }_4{3}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi.

${\log }_{4}81·{\log }_{\sqrt{3}}16={\log }_{4}81·\frac{{\log }_{4}16}{{\log }_4\sqrt{3}}={\log }_4{3}^4·\frac{{\log }_4{4}^2}{{\log }_4{3}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=4{\log }_{4}3·\frac{2{\log }_{4}4}{\frac{1}{2}{\log }_{4}3}$

Obliczamy.

${\log }_{4}81·{\log }_{\sqrt{3}}16={\log }_{4}81·\frac{{\log }_{4}16}{{\log }_4\sqrt{3}}={\log }_4{3}^4·\frac{{\log }_4{4}^2}{{\log }_4{3}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=$

$=4{\log }_{4}3\cdot \frac{2{\log }_{4}4}{\frac{1}{2}{\log }_{4}3}=4{\log }_{4}3\cdot \frac{2\cdot 2}{{\log }_{4}3}=16$

Wartość wyrażenia ${\log }_{4}81·{\log }_{\sqrt{3}}16$ jest równa $16$.