Zastosujmy wzór na sumę sinusów

$\frac{\sin 43°+\sin 17°}{2\cos 13°+3\sin 77°}=$

$=\frac{2\sin 30°·\cos 13°}{2\cos 13°+3\sin \left(90°-13°\right)}=$

$=\frac{\cos 13°}{2\cos 13°+3\cos 13°}=\frac{1}{5}$.

Zapiszmy składniki sumy w innej kolejności

$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=\left(\sin x+\sin 4x\right)+\left(\sin 2x+\sin 3x\right)$.

Wykorzystujemy dwukrotnie wzór na sumę sinusów i po przekształceniach otrzymujemy wspólny czynnik, który można wyłączyć przed nawias

$\left(2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}\right)+\left(2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}\right)=2\sin \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)$.

Wykorzystujemy wzór na sumę sinusów

$2\sin \frac{5x}{2}\left(\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{3x}{2}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}\right)\right)=2\sin \frac{5x}{2}\left(2\sin \left(\frac{\pi -2x}{2}\right)\cos \frac{x}{2}\right)$

i otrzymujemy odpowiedź

$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=4\sin \frac{5x}{2}\cos x\cos \frac{x}{2}$.