Sprawdź się - Odcinki w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym - zpe.gov.pl

1

Pokaż ćwiczenia:

1

Ćwiczenie 1

RAAWsHZCi5dWL

Rumm8AGh12YJ3

Jakie odcinki wybrano poniżej w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym

A B C D E F G

, w którym

G

jest górnym wierzchołkiem bryły? Uzupełnij luki, wybierając prawidłowe odpowiedzi.

$A B$ to 1. krótsza przekątna podstawy, 2. krawędź ściany bocznej, 3. dłuższa przekątna podstawy, 4. wysokość bryły, 5. wysokość ściany bocznej, 6. krawędź podstawy,
$A C$ to 1. krótsza przekątna podstawy, 2. krawędź ściany bocznej, 3. dłuższa przekątna podstawy, 4. wysokość bryły, 5. wysokość ściany bocznej, 6. krawędź podstawy,
$A D$ to 1. krótsza przekątna podstawy, 2. krawędź ściany bocznej, 3. dłuższa przekątna podstawy, 4. wysokość bryły, 5. wysokość ściany bocznej, 6. krawędź podstawy,
$A G$ to 1. krótsza przekątna podstawy, 2. krawędź ściany bocznej, 3. dłuższa przekątna podstawy, 4. wysokość bryły, 5. wysokość ściany bocznej, 6. krawędź podstawy.

RG70z8n0n1GcV1

Ćwiczenie 2

2

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Punkty $H$ , $J$ , $K$ , $L$ , $M$ , $O$ , są środkami odpowiednich krawędzi podstawy.

Rch8O10yVZNJU

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy o podstawie sześciokąta A B C D E F i wierzchołku górnym I. W ostrosłupie zaznaczono spodek wysokości i podpisano go literą N. Na krawędzi AB zaznaczono punkt L, na krawędzi BC zaznaczono punkt M, na krawędzi CD zaznaczono punkt H, na krawędzi DE zaznaczono punkt O, na krawędzi EF zaznaczono punkt J, na krawędzi FA zaznaczono punkt K.

R1ZFy12mnv0zc

Na podstawie rysunku połącz w pary wskazane odcinki z ich nazwami.

F I

Możliwe odpowiedzi: 1. krawedź podstawy, 2. krawedź boczna, 3. wysokość ściany bocznej, 4. krótsza przekątna podstawy, 5. dłuższa przekątna podstawy, 6. wysokość ostrosłupa

A F

Możliwe odpowiedzi: 1. krawedź podstawy, 2. krawedź boczna, 3. wysokość ściany bocznej, 4. krótsza przekątna podstawy, 5. dłuższa przekątna podstawy, 6. wysokość ostrosłupa

N I

Możliwe odpowiedzi: 1. krawedź podstawy, 2. krawedź boczna, 3. wysokość ściany bocznej, 4. krótsza przekątna podstawy, 5. dłuższa przekątna podstawy, 6. wysokość ostrosłupa

A C

Możliwe odpowiedzi: 1. krawedź podstawy, 2. krawedź boczna, 3. wysokość ściany bocznej, 4. krótsza przekątna podstawy, 5. dłuższa przekątna podstawy, 6. wysokość ostrosłupa

M I

Możliwe odpowiedzi: 1. krawedź podstawy, 2. krawedź boczna, 3. wysokość ściany bocznej, 4. krótsza przekątna podstawy, 5. dłuższa przekątna podstawy, 6. wysokość ostrosłupa

B E

Możliwe odpowiedzi: 1. krawedź podstawy, 2. krawedź boczna, 3. wysokość ściany bocznej, 4. krótsza przekątna podstawy, 5. dłuższa przekątna podstawy, 6. wysokość ostrosłupa

2

Ćwiczenie 4

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $10$ , a krótsza przekątna podstawy $4 \sqrt{3}$ . Oblicz długość wysokości ściany bocznej.

Ze wzoru dla krótszej przekątnej otrzymujemy, że $a = 4$ . Korzystając z trójkąta zaznaczonego na rysunku

R1F1ybdOp6RpC

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, jest ona pod kątem prostym do podstawy, a jej spodek znajduje się w miejscu przecięcia dłuższych przekątnych ostrosłupa. Pomiędzy wysokością ściany bocznej ostrosłupa a krawędzią podstawy zaznaczono kąt prosty. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z krawędzi bocznej ostrosłupa, wysokości ściany bocznej oraz fragmentu krawędzi podstawy, który łączy te odcinki.

obliczamy wysokość ściany bocznej z twierdzenia Pitagorasa

$2^{2} + h^{2} = 10^{2}$

Czyli $h^{2} = 96$ ,

a stąd $h = 4 \sqrt{6}$ .

2

Ćwiczenie 5

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $4$ , a wysokość ściany bocznej $6$ . Oblicz długość wysokości ostrosłupa.

RYDdPv7EGV86X

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość H, jest ona pod kątem prostym do podstawy. W ścianie bocznej zaznaczono jej wysokość, ma ona długość sześć. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ostrosłupa, wysokości ściany bocznej oraz fragmentu krawędzi podstawy, który łączy te odcinki. Odcinek ten ma długość 23.

Ponieważ krawędź podstawy wynosi $4$ , to odcinek równy połowie krótszej przekątnej ma długość $2 \sqrt{3}$ .

Obliczamy wysokość korzystając z twierdzenia Pitagorasa

$H^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2} = 6^{2}$

a stąd $H^{2} = 24$ .

Wysokość ostrosłupa ma mieć długość $H = 2 \sqrt{6}$ .

2

Ćwiczenie 6

Kąt pomiędzy krawędzią boczną, a dłuższą przekątną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma miarę $63 °$ , a krawędź boczna ma długość $8$ . Oblicz długości przekątnych podstawy tego ostrosłupa. Wyniki podaj z dokładnością do 0,01.

RbkhNBxUlF7PD

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, jest ona pod kątem prostym do podstawy. Krawędź ściany bocznej ma długość osiem. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ostrosłupa, wysokości ściany bocznej oraz odcinka łączącego wysokość z krawędzią. Odcinek ten ma długość a. Zaznaczony trójkąt jest trójkątem prostokątnym, a krawędź ściany bocznej jest przeciwprostokątną. Kąt pomiędzy przyprostokątną o długości a i przeciwprostokątną ma 63 stopnie.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym obliczymy długość odcinka $a$ – ma on długość taką, jak krawędź podstawy ostrosłupa.

Mamy zatem

$\cos 63 ° = \frac{a}{8}$

a stąd $a = 0, 4540 \cdot 8 \approx 3, 63$ .

Czyli dłuższa przekątna podstawy $d_{1} \approx 7, 26$ , a krótsza $d_{2} \approx 3, 63 \sqrt{3}$ .

3

Ćwiczenie 7

Uzasadnij, że ściany boczne ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego nie mogą być trójkątami równobocznymi.

3

Ćwiczenie 8

Trójkąt przedstawiony na rysunku jest prostokątny. Jego przeciwprostokątna ma długość $4 \sqrt{6}$ . Określ długość krawędzi bocznej, krawędzi podstawy i wysokości ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego przedstawionego na rysunku

R1V1wj2rekC96

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, jest ona pod kątem prostym do podstawy. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z naprzeciwległych krawędzi bocznych ostrosłupa oraz dłuższej przekątnej łączącej te krawędzie. Wysokość ostrosłupa jest wysokością tego trójkąta.

Trójkąt przedstawiony na rysunku jest równoramiennym trójkątem prostokątnym.

Czyli dłuższa przekątna $2 a = 4 \sqrt{6}$ . To znaczy, że krawędź podstawy ma długość $a = 2 \sqrt{6}$ .

Oznaczmy krawędź boczną przez $b$ . Mamy więc $b \sqrt{2} = 4 \sqrt{6}$ .

Czyli $b = 4 \sqrt{3}$ .

Wysokość ostrosłupa ma długość taką, jak połowa dłuższej przekątnej podstawy (ponieważ trójkąt prostokątny o bokach: wysokość ostrosłupa, połowa dłuższej przekątnej podstawy i krawędź boczna jest równoramienny).

Czyli $H = 2 \sqrt{6}$ .