Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Punkty , , , , , , są środkami odpowiednich krawędzi podstawy.
Rch8O10yVZNJU
R1ZFy12mnv0zc
2
Ćwiczenie 4
Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość , a krótsza przekątna podstawy . Oblicz długość wysokości ściany bocznej.
Ze wzoru dla krótszej przekątnej otrzymujemy, że . Korzystając z trójkąta zaznaczonego na rysunku
R1F1ybdOp6RpC
obliczamy wysokość ściany bocznej z twierdzenia Pitagorasa
Czyli ,
a stąd .
2
Ćwiczenie 5
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość , a wysokość ściany bocznej . Oblicz długość wysokości ostrosłupa.
RYDdPv7EGV86X
Ponieważ krawędź podstawy wynosi , to odcinek równy połowie krótszej przekątnej ma długość .
Obliczamy wysokość korzystając z twierdzenia Pitagorasa
a stąd .
Wysokość ostrosłupa ma mieć długość .
2
Ćwiczenie 6
Kąt pomiędzy krawędzią boczną, a dłuższą przekątną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma miarę , a krawędź boczna ma długość . Oblicz długości przekątnych podstawy tego ostrosłupa. Wyniki podaj z dokładnością do 0,01.
RbkhNBxUlF7PD
Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym obliczymy długość odcinka – ma on długość taką, jak krawędź podstawy ostrosłupa.
Mamy zatem
a stąd .
Czyli dłuższa przekątna podstawy , a krótsza .
3
Ćwiczenie 7
Uzasadnij, że ściany boczne ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego nie mogą być trójkątami równobocznymi.
Gdyby ściany boczne były trójkątami równobocznymi, to krawędź podstawy i krawędź boczna byłyby tej samej długości. Wtedy trójkąt prostokątny o bokach: wysokość ostrosłupa, połowa dłuższej przekątnej podstawy i krawędź boczna byłby trójkątem, którego przyprostokątna ma taką samą długość, jak przeciwprostokątna. Jest to oczywiście niemożliwe.
3
Ćwiczenie 8
Trójkąt przedstawiony na rysunku jest prostokątny. Jego przeciwprostokątna ma długość . Określ długość krawędzi bocznej, krawędzi podstawy i wysokości ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego przedstawionego na rysunku
R1V1wj2rekC96
Trójkąt przedstawiony na rysunku jest równoramiennym trójkątem prostokątnym.
Czyli dłuższa przekątna . To znaczy, że krawędź podstawy ma długość .
Oznaczmy krawędź boczną przez . Mamy więc .
Czyli .
Wysokość ostrosłupa ma długość taką, jak połowa dłuższej przekątnej podstawy (ponieważ trójkąt prostokątny o bokach: wysokość ostrosłupa, połowa dłuższej przekątnej podstawy i krawędź boczna jest równoramienny).