Przekształćmy wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{-2x+3}{x-1}$ do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{-2x+3}{x-1}=\frac{-2\left(x-1\right)+1}{x-1}=-2+\frac{1}{x-1}$

Wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{-2x+3}{x-1}$ powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$ o wektor $\left[1,-2\right]$.

Wykres funkcji $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$ posiada osie symetrii o równaniach:

$y=x$ oraz $y=-x$.

Wraz z przesunięciem wykresu funkcji, przesuwają się również jego osie symetrii, czyli osie symetrii wykresu funkcji $f$ mają wzory:

$y=\left(x-1\right)-2=x-3$

$y=-\left(x-1\right)-2=-x-1$

Równania osi symetrii:

$y=x-3$

$y=-x-1$

Założenie:

$f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+1}$, $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1\right\}$, $x_1$, $x_2\in \left(-\infty ,-1\right)$ i $x_1<x_2$

Teza:

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Dowód:

Zbadamy znak różnicy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$, $x_2\in \left(-\infty ,-1\right)$:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{x_1-2}{x_1+1}-\frac{x_2-2}{x_2+1}=\frac{\left(x_1-2\right)\left(x_2+1\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}-\frac{\left(x_2-2\right)\left(x_1+1\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}=$

$=\frac{x_1{x}_2+x_1-2x_2-2-x_1{x}_2-x_2+2x_1+2}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}=\frac{3\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}<0$

Uzasadnienie:

• $x_1-x_2<0$ z założenia, ponieważ $x_1<x_2$

• $3\left(x_1-x_2\right)<0$ ponieważ iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą ujemną

• $x_1+1<0$ z założenia, ponieważ $x_1<-1$

• $x_2+1<0$ z założenia, ponieważ $x_2<-1$

• $\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0$, ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczba dodatnią

• $\frac{3\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}<0$, ponieważ iloraz liczby ujemnej i liczby dodatniej jest liczbą ujemną

Otrzymaliśmy nierówność $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0$, zatem $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$, co należało udowodnić.