Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RmqGa6SyDwMaq

RHHD1QoOavKxE

R1bdYZVRmFqtU1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Pole pierwszego przekroju graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi $12$ .

R2UqsaEEpcVgb

Ilustracja przedstawia dwa graniastosłupy sześciokątne foremna. Graniastosłup pierwszy został przecięty płaszczyzną, która przechodzi przez krótszą przekątną dolnej i równoległą do niej przekątną górnej podstawy. Przekrój taki ma kształt prostokąta, którego pionowym bokami są przekątne ścian bocznych. Graniastosłup drugi również został przecięty płaszczyzną, która przechodzi przez dłuższą przekątną dolnej i górnej podstawy leżące bezpośrednio jedna nad drugą. Przekrój taki ma kształt prostokąta, którego pionowym bokami są krawędzie ścian bocznych.

R26ZeVnDZbifG

Ćwiczenie 4

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny $A B C D E F G H I J K L$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez punkty $M$ , $N$ , $O$ , jak na rysunku. Wiemy, że $|H M| = |H N| = 6$ i $|H O| = 8$ .

R1HITppzAdOIK

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny o wierzchołkach A B C D E F G H I J K L. Przez graniastosłup przechodzi płaszczyzna, która przecina dwie sąsiednie krawędzie górnej podstawy, krawędź GH i krawędź IH są to odpowiednio punkty M i N oraz krawędź boczną BH, punkt przecięcia podpisano literą O. Powstały przekrój ma kształt trójkąta o wierzchołkach M N O.

Rav0F42Y1CP1Y

RTxIF8YtYewBy2

Ćwiczenie 5

RrEBJgcsJA7cv2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym przekątne sąsiednich ścian bocznych są prostopadłe. Pole przekroju zawierające wierzchołki trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka wynosi $9$ . Oblicz objętość graniastosłupa.

Przekrój, o którym mowa w treści zadania, jest równoramiennym trójkątem prostokątnym – ramionami tego trójkąta są przekątne sąsiednich ścian bocznych.

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1SsHFHqRCIWc

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny, w którym zaznaczono trójkąt prostokątny. Przyprostokątnymi są przekątne sąsiadujących ścian bocznych, podpisano je literą x, przeciwprostokątną jest krótsza przekątna dolnej podstawy.

Pole przekroju wynosi $9$ . Tak więc $9 = \frac{x^{2}}{2}$ . Czyli $x = 3 \sqrt{2}$ .

Jeżeli w trójkącie tym poprowadzimy wysokość na trzeci z boków, to powstaną dwa przystające trójkąty równoramienne prostokątne.

Oznaczmy przez $a$ krawędź podstawy tego graniastosłupa.

RiYmbSNf3fqko

Czyli $\frac{a \sqrt{3}}{2} = 3$ . A stąd $a = 2 \sqrt{3}$ .

Obliczymy długość wysokości graniastosłupa z twierdzenia Pitagorasa.

R1B7TcD4Tsx7P

Mamy ${(2 \sqrt{3})}^{2} + H^{2} = {(3 \sqrt{2})}^{2}$ . Stąd $H = \sqrt{6}$ .

Teraz możemy już obliczyć objętość graniastosłupa: $V = 6 \cdot \frac{{(2 \sqrt{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{6} = 18 \sqrt{18} = 54 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 8

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy długości $4 .$ Graniastosłup przecięto płaszczyzną jak na rysunku. Pole otrzymanego przekroju wynosi $96 \sqrt{3}$ . Oblicz pole powierzchni graniastosłupa.

R1bd1CQoGwvX0

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny, który przecięto płaszczyzną. Płaszczyzna ta przechodzi przez krawędź górnej podstawy oraz leżącą naprzeciw krawędź dolnej podstawy. Przekrój taki ma kształt sześciokąta, którego pozostałe krawędzie leżą w płaszczyźnie sąsiadujących ścian bocznych.

Zauważmy, że dany przekrój jest sześciokątem, który można podzielić na dwa przystające trapezy równoramienne o podstawach $4$ i $8$ .

Nie znamy długości wysokości trapezów. Możemy ją policzyć korzystając z danego pola przekroju. Mamy więc:

$96 \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{(4 + 8) h}{2}$

Czyli $12 h = 96 \sqrt{3}$ . A to nam daje $h = 8 \sqrt{3}$ .

Zauważmy, że krótsza przekątna graniastosłupa ma długość $2 h = 16 \sqrt{3}$ , a krótsza przekątna sześciokąta ma długość $4 \sqrt{3}$ .

Możemy więc obliczyć wysokość graniastosłupa.

R1QFWGkpx6YrX

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny, w którym zaznaczono trójkąt prostokątny. Przyprostokątnymi są krótsza przekątna podstawy o długości 43 oraz krawędź boczna ostrosłupa H. Przeciwprostokątna ma długość 163.

Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć wysokość graniastosłupa, czyli $H^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2} = {(16 \sqrt{3})}^{2}$ .

Zatem $H = \sqrt{768 - 48} = \sqrt{720} = 12 \sqrt{5}$ .

Możemy już obliczyć pole powierzchni graniastosłupa $P_{c} = 2 \cdot 6 \cdot \frac{16 \sqrt{3}}{4} + 6 \cdot 4 \cdot 12 \sqrt{5} = 48 \sqrt{3} + 288 \sqrt{5} = 48 (\sqrt{3} + 6 \sqrt{5})$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela