Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

W prostokącie $A B C D$ o długościach boków $|A B| = 8$ , $|A D| = 12$ , połączono środki boków $A B$ i $A D$ oraz $D C$ i $B C$ otrzymując w ten sposób sześciokąt $B G H D E F$ . Oblicz pole i obwód tego sześciokąta.

Skorzystajmy z rysunku.

RQ5znvFJCYNOk

Ilustracja przedstawia czworokąt A, B, C, D. W środkach jego boku oznaczono punkty E, F, G, H które wraz z punktami B i D tworzą sześciokąt.

Wtedy $E F$ i $G H$ są liniami środkowymi w trójkątach $A B D$ i $C B D$ .

Pole sześciokąta jest równe polu prostokąta minus pola trójkątów $A F E$ i $C H G$ . Ale pole każdego z tych trójkątów jest równe $\frac{1}{4}$ pola trójkąta $A B D$ , czyli $\frac{1}{8}$ pola prostokąta.

Stąd pole sześciokąta jest równe $12 \cdot 8 - 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot 12 \cdot 8 = 72$ .

Aby policzyć obwód wyznaczamy długość odcinka $E F$ z twierdzenia Pitagorasa:

${|F E|}^{2} = 4^{2} + 6^{2} = 52$ . Stąd $|F E| = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ .

Ostatecznie, obwód sześciokąta jest równy:

$2 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 2 \cdot 2 \sqrt{13} = 20 + 4 \sqrt{13}$ .

Ćwiczenie 2

R13O1THuQc36y

Ilustracja przedstawia czworokąt A, B, C, D. Na kolejnych środkach boków tego czworokąta oznaczono punkty E, F, G, H, tworzą one kolejny czworokąt. Odcinek AE jest równy 3, odcinek EB 3, BF 4, FC 3, GD 4, DH 4, HA 4. Odcinek EF ma wartość 6, a odcinek EH ma wartość 5.

R2fbuc1GUcEjh

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawione są dwa sześciokąty foremne takie, że wierzchołki sześciokąta mniejszego są środkami boków sześciokąta większego.

R1O6I309xb8Lu

Ilustracja przedstawia dwa sześciokąty foremne takie, że wierzchołki sześciokąta mniejszego Q, K, J, N, O, P są środkami boków sześciokąta większego A, B, C, D, E, F. Utworzono odcinki; PK, EB, OJ, FD, QN, AC..

ReIvQnAGHvmKI

RAKvuuwLLqJOq2

Ćwiczenie 4

R18UfI0Lj0wIh2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Uzasadnij, że czworokąt, którego wierzchołkami są środki boków rombu jest prostokątem. Kiedy ten czworokąt będzie kwadratem?

Na rysunku czworokąt $A B C D$ jest rombem. Wtedy czworokąt $E F G H$ jest równoległobokiem, którego boki są równoległe do przekątnych rombu. Ponieważ przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym, to sąsiednie boki równoległoboku są też prostopadłe, a to dowodzi, że ten czworokąt jest prostokątem.

RSXTERCdQaQWj

Rysunek przedstawia romb A, B, C, D. W środku jest wpisany prostokąt E, F, G, H tak, że jego wierzchołki znajdują się w środkach boków rombu.

Z faktu, że linie środkowe w trójkącie mają długości równe połowie długości podstaw (w tym przypadku przekątnych rombu) wynika, że omawiany czworokąt będzie kwadratem, jeśli przekątne rombu będą miały równe długości. Stąd czworokąt $E F G H$ jest kwadratem wtedy i tylko wtedy, gdy romb $A B C D$ jest kwadratem.

Ćwiczenie 7

W trapezie $A B C D$ o polu $P$ , w którym $A B ∥ C D$ i $|A B| = 2 |C D|$ przedłużono ramiona trapezu aż do przecięcia w punkcie $O$ . Wyznacz pole trójkąta $A B O$ .

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o linii środkowej w trójkącie wynika, że $C D$ jest linią środkową trójkąta $A B O$ . Stąd pole trapezu jest równe $\frac{3}{4}$ pola trójkąta $A B O$ . Stąd pole trójkąta $A B O$ jest równe $\frac{4}{3} P$ .

Ćwiczenie 8

W trójkącie $A B C$ punkty $D$ , $E$ , $F$ są środkami boków tego trójkąta. Natomiast punkty $P$ , $Q$ są środkami boków trójkąta $B O C$ , gdzie $O$ jest punktem wspólnym odcinka $D F$ i $A E$ .

RBLILCmMfwS9A

Rysunek przedstawia trójkąt A, B, C. Oznaczono punkt O w połowie wysokości trójkąta. Utworzono odcinki BO, CO. Wpisano prostokąt F, D, P, Q gdzie pierwsze dwa punkty są umieszczone w środkach boków trójkąta A, B, C. Punkty P i Q leżą odpowiednio w środkach odcinków BO i CO.

Udowodnij, że czworokąt $D P Q F$ jest równoległobokiem.

$D F ∥ B C$ , bo $D F$ jest linią środkową w trójkącie $A B C$ . Również $P Q ∥ B C$ , bo $P Q$ jest linią środkową w trójkącie $B O C$ . Stąd $D F ∥ P Q$ .

Z drugiej strony $D P ∥ A O$ , bo $D P$ jest linią środkową w trójkącie $A B O$ . Również $F Q ∥ A O$ , bo $F Q$ jest linią środkową w trójkącie $A C O$ . Stąd $D P ∥ F Q$ .

Zatem czworokąt $D P Q F$ jest równoległobokiem, bo ma dwie pary boków równoległych.

Ćwiczenie 9

Jagoda mieszka w pobliżu ogrodzonego parku w kształcie trójkąta o bokach $60$ , $80$ , $100$ (niebieski znak x). Do parku można wejść przez trzy bramy umieszczone na środkach boków tego trójkąta. Miejsce przystanku autobusowego oznaczone jest czerwonym znakiem x. Wyznacz długość najkrótszej drogi z przystanku do domu.

Rf3t4BPNlmHUf

Rysunek przedstawia trójkąt A, B, C. Oznaczono środkowe E, F, D które tworzą mniejszy trójkąt. Na boku AE zaznaczono czerwony x tak, że jego odległość od wierzchołka A wynosi 20. Na boku BF zaznaczono niebiski x tak, że jego odległość od wierzchołku B wynosi 10.

Najkrótsza trasa to: z przystanku idziemy do bramy $E$ , potem przez park do bramy $F$ i wzdłuż ogrodzenia do domu.

Długość drogi jest sumą następujących wartości:

$10 = \frac{60}{2} - 20$ – odległość od przystanku do bramy $E$ .

$50 = \frac{100}{2}$ – $E F$ jest linią środkową w trójkącie $A B C$

$30 = \frac{80}{2} - 10$ – odległość od bramy $F$ do domu

Suma ta jest równa $90$ .

Ćwiczenie 10

Wykaż, że pole czworokąta powstałego z połączenia środków boków trapezu jest równe połowie pola tego trapezu.

Na rysunku przedstawiliśmy trapez i odcinki łączące środki boków trapezu. Wtedy $E F$ jest linią środkową trójkąta $A C D$ i pozostałe boki czworokąta $E F G H$ są liniami środkowymi w odpowiednich trójkątach.

R1VGWi4zw663g

Ilustracja przedstawia trapez A, B, C, D i odcinki łączące środki boków tego trapezu, które tworzą czworokąt E, F, G, H. Dodatkowo zaznaczone są przekątne tego trapezu AD oraz BC.

Z własności linii środkowych

$P_{E C F} = \frac{1}{4} P_{A C D}$ , $P_{A E H} = \frac{1}{4} P_{A C B}$ , $P_{D G F} = \frac{1}{4} P_{B C D}$ , $P_{B G H} = \frac{1}{4} P_{A B D}$

Ponadto,

$2 P_{A B C D} = (P_{A C D} + P_{A B D}) + (P_{A B C} + P_{B C D}) = 4 P_{E C F} + 4 P_{B G H} + 4 P_{A E H} +$ $+ 4 P_{D G F}$

Stąd $P_{E C F} + P_{B G H} + P_{A E H} + P_{D G F} = \frac{1}{2} P_{A B C D}$ i wtedy pole czworokąta $E F G H$ jest równe $\frac{1}{2} P_{A B C D}$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela