Wykonajmy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.

RUQqPmwMsKMmx

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie A B C i wierzchołku D. Długość krawędzi podstawy wynosi dziesięć. Z wierzchołka D opuszczono wysokość H ostrosłupa, której spodek leży w punkcie G. Na krawędzi AB zaznaczono punkt F stanowiący jej środek oraz spodek wysokości ściany bocznej. Zaznaczono przekrój ostrosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt F C D. Krawędź CF płaszczyzny przechodzi przez punkt G.

Oznaczamy odcinki $AB=BC=AC=a=10$, $DG=H$, $FC=h$.

Wiemy, że objętość ostrosłupa $V=75\sqrt{2}$, czyli po podstawieniu wzoru na objętość mamy:

$\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}H=75\sqrt{2}$, $a=10$, więc:

$100\sqrt{3}H=12·75\sqrt{2}$,

$H=3\sqrt{6}$.

Wysokość podstawy wyznaczymy ze wzoru:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$.

Zatem pole przekroju wynosi: $P=\frac{1}{2}·h·H=\frac{1}{2}·5\sqrt{3}·3\sqrt{6}=\frac{15\sqrt{18}}{2}=\frac{45\sqrt{2}}{2}$.

Wykonajmy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.

RlvJmcG8AOaur

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie A B C i wierzchołku D. Krawędź podstawy ma długość a. Z wierzchołka D opuszczono wysokość ostrosłupa o długości wielkie H, której spodek leży w punkcie E znajdującym się na wysokości podstawy opuszczonej z wierzchołka C. Dodatkowo na wysokości bryły zaznaczono punkt G. Z wierzchołka D opuszczono wysokość ściany bocznej o długości małe h do krawędzi A B i jej spodek oznaczono przez punkt F. Na krawędzi bocznej C D zaznaczono punkt L, bliżej wierzchołka D. Połączono punkt L z wierzchołkiem A i B otrzymano przekrój ostrosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąta A B L. Poprowadzono wysokość tego przekroju z wierzchołka L do punktu F która jest nachylona do wysokości podstawy pod kątem alfa.

Zauważmy, że przekrojem jest trójkąt równoramienny $ABL$, którego podstawą jest krawędź podstawy ostrosłupa, odcinek $AB$ o długości $a$, zaś wysokością jest odcinek $FL$. Ponieważ znamy długość krawędzi podstawy, do obliczenia objętości brakuje nam wysokości $H$. Wiemy, że $GE$ jest połową wysokości i długość tego odcinka będziemy mogli obliczyć z trójkąta $FEG$.

Punkt $E$ jest ortocentrum trójkąta równobocznego w podstawie, odcinek $FE$ stanowi $\frac{1}{3}$ długości wysokości tego trójkąta. Zatem:

$\left|FE\right|=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Z trójkąta prostokątnego $FEG$:

$\frac{\left|GE\right|}{\left|FE\right|}=\text{tg}\alpha$, stąd $\left|GE\right|=\left|FE\right|\cdot \text{tg}\alpha$.

$\frac{1}{2}H$$=\frac{a\sqrt{3}}{6}·tg\alpha$, stąd $H$$=\frac{a·tg\alpha \sqrt{3}}{3}$.

Możemy już obliczyć objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}{P}_p·H=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}·\frac{a·tg\alpha \sqrt{3}}{3}=\frac{a^{3}tg\alpha }{12}$.

Korzystamy z trójkąta prostokątnego $FED$:

$h$$=\left|FD\right|=\sqrt{|FE{|}^2+|ED{|}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{12}+\frac{a^2{\text{tg}}^2\alpha }{3}}=a\sqrt{\frac{1+4{\text{tg}}^2\alpha }{12}}$.

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

$P_b=3·\frac{1}{2}·a·h=\frac{3}{2}a·a\sqrt{\frac{1+4{tg}^2\alpha }{12}}=\frac{3}{2}{a}^2·\frac{\sqrt{3+12{tg}^2\alpha }}{6}=\frac{a^2\sqrt{3+12{tg}^2\alpha }}{4}$.