Znajdujemy obraz argumentu $x=3$ oznaczonego na rysunku jako punkt $A$. W przekształceniu funkcją $f$ czyli $f\left(3\right)$ otrzymujemy, że $f\left(3\right)=4$, czyli powstaje punkt $B\left(3,4\right)$. Wyznaczona wartość ta staje się argumentem funkcji $g$, czyli $x=4$ oznaczonego na rysunku jako punkt $C$ . W przekształceniu elementu $f\left(3\right)$ funkcją $g$ otrzymujemy wartość $g\left(f\left(3\right)\right)=-1$ oznaczany na rysunku wraz z argumentem jako punkt $D$. W konsekwencji szukany punkt to $E\left(3, g\left(f\left(3\right)\right)\right)=\left(3,-1\right)$ , który jest punktem krzywej o równaniu $y=g\left(f\left(x\right)\right)$, niewidocznej na rysunku.

Rs9mQ1pN3jRxd

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z pionową osią od minus sześciu do jedenastu i pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. W układzie współrzędnych zaznaczono wykres funckji f kolorem różowym , która dla argumentów od minus nieskończoności do minus jeden włącznie przyjmuje wartość równą dwa od minus jeden zaczyna rosnąć uciekając z wartościami do plus nieskończoności dla co raz większych argumentów. Kolorem niebieskim zaznaczono wykres funkcji g który jest hiperbolę znajdującą się w drugiej i czwartej ćwiartce Pierwszy fragment przechodzi prze punkty nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu oraz nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, a drugie przez nawias jeden średnik minus cztery zamknięcie nawiasu oraz nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Zaznaczono punkt A o współrzędnych nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, punkt B o współrzędnych nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu, punkt C o współrzędnych nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu, punkt D nawias cztery średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, punkt E nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Znajdujemy dziedziny naturalne i zbiory wartości funkcji $f$ i $g$:

$f:\mathrm{ℝ}\to \left.⟨-4;\infty \right),g:\left(0;\infty \right)\to \mathrm{ℝ}$.

RSBZ2gtLJXZ1z

Ilustracja przedstawia schemat. Zbiór liczb rzeczywistych strzałka w bok z napisem f . przedział lewostronnie domknięty od minus czterech do nieskończoności nie zawiera się w przedziale otwartym od zera do nieskończoności. Strzałka w dół z napisem g do zbioru liczb rzeczywistych. Nie istnieje $g\circ f$.

Ponieważ $\left.⟨-4;\infty \right)\not\subset \left(0;\infty \right)$, to niemożliwe jest utworzenie złożenia dla całego zbioru liczb rzeczywistych, który jest dziedziną naturalną funkcji $f$. Złożenie $g\circ f$ miałoby postać: $g\left(f\left(x\right)\right)={\log }_2\left(x^2-4\right)$. Aby określić dziedzinę naturalną złożenia $D_{g\circ f}=\left\{x:x\in D_f\wedge f\left(x\right)\in D_g\right\}$, ponieważ $D_f=\mathrm{ℝ}$ należy jeszcze znaleźć zbiór $x\in \mathrm{ℝ}$ spełniających warunek $f\left(x\right)\in D_g=\left(0;\infty \right)$, czyli $f\left(x\right)=x^2-4>0$. Z ostatniej nierówności otrzymujemy: $D_{g\circ f}=(-\mathrm{\infty };-2)\cup (2;\mathrm{\infty })$.

Dla złożenia $f\circ g$ mamy:

R1NUsWXFVddOc

Ilustracja przedstawia schemat. Przedział obustronnie otwarty od zera do nieskończoności strzałka w bok z napisem g do zbioru liczb rzeczywistych. Strzałka w dół do przedziału lewostronnie domkniętego od minus 4 do nieskończoności. Od pierwszego przedziału do drugiego przechodzi strzałka z napisem. $f\circ g$.

Zachodzi natomiast $\mathrm{ℝ}\subset \mathrm{ℝ}$, stąd istnieje złożenie $f\circ g:\left(0;\infty \right)\to \left.⟨-4;\infty \right)$, które wyraża się wzorem: $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)={\left({\log }_{2}x\right)}^2-4$.

Sposób I:

Funkcja $f:\mathrm{ℝ}\to \left.⟨-1;\infty \right)$. Zbiór wartości $\left.⟨-1;\infty \right)\subset \mathrm{ℝ}$.

Istnieje złożenie $f^3=f\circ f\circ f:\mathrm{ℝ}\to \left.⟨-1;\infty \right)$.

Obliczmy: $f\left(f\left(x\right)\right)={\left(x^2-1\right)}^2-1=x^4-2x^2+1-1=x^4-2x^2$.

$f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)={\left(x^4-2x^2\right)}^2-1=\left(\left(x^4-2x^2\right)-1\right)\left(\left(x^4-2x^2\right)+1\right)=$$=\left(x^4-2x^2-1\right)\left(x^4-2x^2+1\right)=$$\left(x^4-2x^2-1\right){\left(x^2-1\right)}^2=$$=((x^4-2x^2+1)-2){(x-1)}^2{(x+1)}^2$$=\left({\left(x^2-1\right)}^2-2\right){\left(x-1\right)}^2{\left(x+1\right)}^2=$$=\left(x^2-1-\sqrt{2}\right)\left(x^2-1+\sqrt{2}\right){\left(x-1\right)}^2{\left(x+1\right)}^2=$$=\left(x-\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)\left(x+\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)\left(x^2-1+\sqrt{2}\right){\left(x-1\right)}^2{\left(x+1\right)}^2=0$

$\iff x=\sqrt{1+\sqrt{2}} \vee x=-\sqrt{1+\sqrt{2}}\vee x=1\vee x=-1$

($x^2=1-\sqrt{2}<0$ stąd sprzeczność).

Sposób II:

Funkcja $f\left(x\right)=x^2-1 f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)=0\iff {\left[f\left(f\left(x\right)\right)\right]}^2-1=0\iff f\left(f\left(x\right)\right)=$
$1\vee f\left(f\left(x\right)\right)=-1\iff {\left(f\left(x\right)\right)}^2-1=1\vee {\left(f\left(x\right)\right)}^2-1=-1\iff {\left(f\left(x\right)\right)}^2=$
$=2\vee {\left(f\left(x\right)\right)}^2=0\iff f\left(x\right)=\sqrt{2}\vee f\left(x\right)=-\sqrt{2}\vee f\left(x\right)=$
$=0\iff x^2-1=\sqrt{2}\vee x^2-1=-\sqrt{2}\vee x^2-1=0\iff x=$
$=\sqrt{1-\sqrt{2}}\vee x=-\sqrt{1-\sqrt{2}}\vee x=1\vee x=-1$

Funkcja $f:\mathrm{ℝ}\to \left(0;\infty \right)$, a funkcja $g:\left.⟨0;\infty \right)\to \left.⟨0;\infty \right)$. Zbiór $\left(0;\infty \right)$ zawiera się w zbiorze $\left.⟨0;\infty \right)$. Możliwe jest znalezienie złożenia funkcji $f$ z funkcją $g$.

Nierówność ma zatem postać: $4·4^x<9\sqrt{4^x}-2$.

Przekształcając tę nierówność otrzymujemy: $4·2^{2x}-9\sqrt{2^{2x}}+2<0\iff 4·2^{2x}-9·2^x+2<0$.

Niech $2^x=t>0$.

Wówczas: $4t^2-9t+2<0$. Ponieważ $\mathrm{\Delta }=81-32=49$, to pierwiastki trójmianu kwadratowego są równe $t_1=\frac{9-7}{8}=\frac{1}{4}$, $t_2=\frac{16}{8}=2$.

Nierówność jest spełniona dla $t\in \left(\frac{1}{4};2\right)$.

Wracając z podstawieniem: $\frac{1}{4}<2^x<2\iff 2^{-2}<2^x<2^1$.

Stąd $-2<x<1$.

Dziedziną funkcji jest zbiór $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\right\}$, a zbiorem wartości $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Aby istniało złożenie, zbiór wartości funkcji wewnętrznej musi zawierać się w dziedzinie funkcji zewnętrznej. Zbiór $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}\not\subset \mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\right\}$.

Jeśli ze zbioru $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$ wyjmiemy $1$, to ponieważ jedynka jest obrazem zera $f\left(0\right)=1$, musimy $0$ wyrzucić z dziedziny funkcji $f$.

Niech więc $f:\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0,1\right\}\to \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0,1\right\}$.

Znajdujemy drugą iterację funkcji $f$:

$f^2\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=\frac{1}{\frac{1-x-1}{1-x}}=\frac{1-x}{-x}=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$

Trzecia iteracja: $f^3\left(x\right)=f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)=1-\frac{1}{\frac{1}{1-x}}=1-\left(1-x\right)=x$. Otrzymaliśmy tożsamość, czyli czwarta iteracja będzie znów pierwszą iteracją: $f^4\left(x\right)=\frac{1}{1-x}$. A więc:

$f^k\left(x\right)=\frac{1}{1-x}$, gdy $k=3n+1,n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

$f^k\left(x\right)=1-\frac{1}{x}$, gdy $k=3n+2,n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

$f^k\left(x\right)=x$, gdy $k=3n,n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

Ponieważ $2020=3·673+1$, to $f^{2020}\left(2021\right)=\frac{1}{1-2021}=-\frac{1}{2020}$.