Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RvJmdZN3cPiGq1

Ćwiczenie 1

Rozwiąż krzyżówkę:

Potencjalna lub kinetyczna.
Pole grawitacyjne wytworzone przez punkt materialny ma symetrię ...
Punkt, który zachowuje się tak, jakby była w nim skupiona cała masa ciała, nazywamy środkiem ...
Druga planeta od Słońca w Układzie Słonecznym.
Punkt, do którego umownie przykładamy wypadkową siłę ciężkości działającą na ciało, nazywamy środkiem ...
Wektor, do którego styczne są linie pola grawitacyjnego, to wektor ... pola.
... siły jest zdefiniowany wzorem: $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ .
W pobliżu powierzchni Ziemi, pole grawitacyjne można traktować tak, jakby było ...

1
2
3
4
5
6
7
8

R123axzA4o34K2

Ćwiczenie 2

W poniższych zdaniach należy wstawić poprawne stwierdzenia wybrane z dostępnych możliwości.

Pole grawitacyjne można graficznie przedstawić za pomocą linii pola. W każdym punkcie pola linie te są {prostopadłe}/{#styczne} do wektora {#natężenia pola}/{prędkości masy punktowej}. Zwrot linii pola jest zgodny ze zwrotem {#sił działających na masę punktową}/{wektora prędkości tej masy}.

Pole grawitacyjne {#jednorodne}/{jednostajne} to takie, którego linie są do siebie {prostopadłe}/{#równoległe}. Natomiast pole {typu gwiazdy}/{#centralne} to takie, którego linie mają symetrię {#sferyczną/lustrzaną}.

R1auq5z6STwVE1

Ćwiczenie 3

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R1SRDQR5VmpMV

Ćwiczenie 3

RVOCJG2VEHp9h2

Ćwiczenie 4

Spośród wymienionych niżej charakterystycznych punktów, związanych z mechaniką bryły sztywnej, tylko jeden jest nierozłącznie związany z istnieniem pola grawitacyjnego. Zaznacz, który z punktów pasuje do tego opisu:

środek układu przyłożonych sił
środek ciężkości
środek masy
środek symetrii

RCtWxuYyQ1CE22

Ćwiczenie 5

Zaznacz, które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe:

Środek masy, to punkt, który zachowuje się tak, jakby była w nim skupiona cała masa ciała. [{#PRAWDA} / {FAŁSZ}]

Środek ciężkości, to punkt do którego umownie przykładamy wypadkową siłę ciężkości działającą na ciało i który zawsze pokrywa się ze środkiem masy. [{PRAWDA} / {#FAŁSZ}]

Środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości jedynie wtedy, gdy pole grawitacyjne jest jednorodne. [{#PRAWDA} / {FAŁSZ}]

W centralnym polu grawitacyjnym, środek masy i środek ciężkości nie muszą, choć mogą się pokrywać. [{#PRAWDA} / {FAŁSZ}]

Ćwiczenie 6

RvThGJFxW8OxR

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Ćwiczenie 7

Dwie łodzie obracają statek o długości 50 m wokół osi pionowej przechodzącej dokładnie przez jego środek. Siły, z jakimi te łodzie działają na statek, są równe co do wartości 5⋅10Indeks górny 4 N każda i są skierowane pod kątem 60° do osi podłużnej statku, tak jak pokazano na załączonym rysunku. Jaka jest wartość, kierunek i zwrot wypadkowego momentu siły działającego na statek? Wartość momentu podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

RD5Fgilbg7tYV

Rysunek przedstawia długi, wąski statek widziany od góry. Statek ustawiony jest poziomo. Dziób statku zwrócony jest w prawo. Do dziobu i do rufy statku przymocowane są liny, za które ciągną dwie łodzie. Lina przy dziobie statku skierowana jest ukośnie w prawo i w górę i tworzy kąt alfa z poziomą osią symetrii statku. Do liny przyłożony jest wektor siły, z jaką łódź ciągnie linę. Wektor oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym 1 i strzałką nad nią i ma kierunek zgodny z kierunkiem liny. Lina przy rufie statku skierowana jest ukośnie w lewo i w dół i również tworzy kąt alfa z poziomą osią symetrii statku. Do liny przyłożony jest wektor siły, z jaką druga łódź ciągnie linę. Kierunek wektora zgodny jest z kierunkiem liny i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym 2 i strzałką nad nią. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R1HscUNcTVP1Z

Odpowiedź:
Wartość momentu siły jest równa: $| \vec{M_{w}} | =$ ............⋅10⁶ N⋅m,

R1OgGAVU0UhOb

Kierunek wektora $\vec{M_{w}}$ jest {#równoległy}/{prostopadły} do osi obrotu statku, a jego zwrot jest skierowany {za rysunek}/{#przed rysunek}/{w prawo}/{w lewo}.

Wypadkowy moment siły działający na statek jest sumą dwóch momentów składowych $\vec{M_{1}}$ i $\vec{M_{2}}$ , które wynikają z istnienia sił $\vec{F_{1}}$ i $\vec{F_{2}}$ przyłożonych do przeciwległych końców statku, jak na rysunku poniżej. Obydwa momenty są zaczepione w punkcie będącym środkiem statku, mają taką samą wartość, kierunek równoległy do osi statku i zwrot przed rysunek. Składowe momenty siły wyznaczamy ze wzoru: $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ , przy czym $M = r \cdot F \cdot \sin α$ , gdzie $M = | \vec{M} |$ , $r = | \vec{r} |$ i $F = | \vec{F} |$ .

R1OQXcWMPywhX

Rysunek składa się z dwóch części. Górna część rysunku przedstawia długi, wąski statek widziany od góry. Statek ustawiony jest poziomo. Dziób statku zwrócony jest w prawo. Do dziobu statku przyłożony jest wektor siły skierowany ukośnie w prawo i w górę, który tworzy kąt alfa z poziomą osią symetrii statku. Wektor siły oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym 1 i strzałką nad nią. Narysowano poziomy wektor, skierowany w prawo, o początku w środku masy statku i końcu w punkcie przyłożenia wektora siły. Wektor ten oznaczono literą małe r z indeksem dolnym 1 i strzałką nad nią. W środku masy statku narysowano kółeczko z kropką w środku, które symbolizuje wektor momentu siły skierowany prostopadle do płaszczyzny rysunku. Wektor momentu siły oznaczono literą wielkie M z indeksem dolnym 1 i strzałką nad nią. Dolna część rysunku przedstawia ten sam statek widziany od góry. Statek ustawiony jest poziomo. Dziób statku zwrócony jest w prawo. Do rufy statku przyłożony jest wektor siły skierowany ukośnie w lewo i w dół, który tworzy kąt alfa z poziomą osią symetrii statku. Wektor siły oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym 2 i strzałką nad nią. Narysowano poziomy wektor, skierowany w lewo, o początku w środku masy statku i końcu w punkcie przyłożenia wektora siły. Wektor ten oznaczono literą małe r z indeksem dolnym 2 i strzałką nad nią. W środku masy statku narysowano kółeczko z kropką w środku, które symbolizuje wektor momentu siły skierowany prostopadle do płaszczyzny rysunku. Wektor momentu siły oznaczono literą wielkie M z indeksem dolnym 2 i strzałką nad nią. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Niech:

$M_{w} = | \vec{M_{w}} |$ ,

$F = | \vec{F_{1}} | = | \vec{F_{2}} | = 5 \cdot 10^{4} N$ ,

$r = | \vec{r_{1}} | = | \vec{r_{2}} | = \frac{d}{2} = 25 m$ ,

$α = 60 °, \sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Zgodnie z podpowiedzią wartość wypadkowego momentu siły jest dana wzorem:

M_{w} = 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot F \cdot \sin α .

Po podstawieniu do tego wzoru odpowiednich wartości liczbowych dostajemy:

M_{w} \approx 2, 2 N \cdot m .

Kierunek i zwrot wektorów $\vec{M_{1}} = \vec{r_{1}} \times \vec{F_{1}}$ i $\vec{M_{2}} = \vec{r_{2}} \times \vec{F_{2}}$ oraz ich sumy $\vec{M_{w}} = \vec{M_{1}} + \vec{M_{2}}$ określamy na podstawie reguły wektorowego mnożenia wektorów (zob. e‑materiał pt. Iloczyn wektorowy).

Ćwiczenie 8

Na poniższym rysunku pokazano układ dwóch takich samych mas punktowych, które są umieszczone na końcach nieważkiego, sztywnego pręta o długości 1 m, w niejednorodnym polu grawitacyjnym. Na lewą masę działa skierowana pionowo w dół siła grawitacji o wartości 1 N, a na prawą masę siła o takim samym kierunku i zwrocie, ale o wartości 2 N. W jakiej odległości od środka masy tego układu znajduje się jego środek ciężkości. Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

R1BuuEtzUSds3

Na rysunku znajduje się poziomy pręt z zaznaczonym pośrodku punktem, który jest podpisany jako środek masy. Do końców pręta przymocowane są dwie jednakowe kulki. Masa każdej z kulek oznaczona jest literą małe m. Do kulek przyłożone są wektory sił grawitacji, skierowane pionowo w dół. Wektor siły działającej na lewą kulkę jest krótki i oznaczony równaniem: litera wielkie F z indeksem dolnym 1 równa się 1 niuton. Wektor siły działającej na prawą kulkę jest dłuższy i oznaczony równaniem: litera wielkie F z indeksem dolnym 2 równa się 2 niutony. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Rap8smUGwF3Rr

Odp: Środek ciężkości układu jest przesunięty, względem jego środka masy, o r_w=............ m w kierunku prawej masy, na którą działa większa siła grawitacji.

Środek masy jest punktem położonym w połowie długości pręta. Obliczenia będziemy wykonywać w układzie współrzędnych, którego początek pokrywa się ze środkiem masy.

Momenty sił, związane z obecnymi w tym układzie siłami grawitacji i liczone względem środka masy układu, mają wartości równe (zob. poniższy rysunek):

M_{1} = r_{1} \cdot F_{1} = \frac{1}{2} m \cdot 1 N = \frac{1}{2} N \cdot m,

M_{2} = r_{2} \cdot F_{2} = \frac{1}{2} m \cdot 2 N = 1 N \cdot m .

R11Gp855ana9B

Ilustracja przedstawia dwa rysunki. Z lewej Rys. a. Na rysunku znajduje się poziomy pręt z zaznaczonym pośrodku punktem, który jest podpisany jako środek masy. Do końców pręta przymocowane są dwie jednakowe kulki. Masa każdej z kulek oznaczona jest literą małe m. Do lewej kulki przyłożony jest wektor siły grawitacji, skierowany pionowo w dół i oznaczony równaniem: litera wielkie F z indeksem dolnym 1 równa się 1 niuton. W środku masy narysowano małe kółko z kropką w środku, które symbolizuje wektor momentu siły grawitacji prostopadły do płaszczyzny rysunku i skierowany do nas. Wektor momentu siły oznaczony jest literą wielkie M z indeksem dolnym 1 i strzałką nad nią. Z prawej Rys. b. Na rysunku znajduje się poziomy pręt z zaznaczonym pośrodku punktem, który jest podpisany jako środek masy. Do końców pręta przymocowane są dwie jednakowe kulki. Masa każdej z kulek oznaczona jest literą małe m. Do prawej kulki przyłożony jest wektor siły grawitacji, skierowany pionowo w dół i oznaczony równaniem: litera wielkie F z indeksem dolnym 2 równa się 2 niutony. W środku masy narysowano małe kółko z krzyżykiem w środku, które symbolizuje wektor momentu siły grawitacji prostopadły do płaszczyzny rysunku i skierowany za płaszczyznę. Wektor momentu siły oznaczony jest literą wielkie M z indeksem dolnym 2 i strzałką nad nią. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Jak pokazano na rysunku, wektory te mają taki sam kierunek (prostopadły do płaszczyzny rysunku), ale przeciwne zwroty: $\vec{M_{1}}$ jest skierowany przed rysunek, a $\vec{M_{2}}$ za rysunek.

Wartość wypadkowego momentu siły $\vec{M_{w}}$ , będącego sumą $\vec{M_{1}}$ i $\vec{M_{2}}$ jest zatem równa:

M_{w} = M_{2} - M_{1} = \frac{1}{2} N \cdot m,

przy czym zwrot tego wektora jest zgodny ze zwrotem wektora $\vec{M_{2}}$ (zob. rysunek niżej).

R1TCjtJ9Rt46V

Znając wartość $M_{w}$ możemy teraz wyznaczyć położenie środka ciężkości $r_{w}$ . Skorzystamy przy tym z definicji środka ciężkości, jako punktu przyłożenia wypadkowej siły grawitacji, tj. $\vec{M_{w}} = \vec{r_{w}} \times \vec{F_{w}}$ , skąd wynika, że

M_{w} = r_{w} \cdot F_{w},

gdzie

F_{w} = F_{1} + F_{2} .

Podstawiając do powyższych zależności dane liczbowe dostajemy:

r_{w} = \frac{M_{w}}{F_{w}} = \frac{\frac{1}{2} N \cdot m}{3 N} = \frac{1}{6} m \approx 0, 17 m .

Powyższy wynik oznacza, że środek ciężkości jest przesunięty w prawo o 0,17 m względem środka masy.

Audiobook

Dla nauczyciela