Rozważmy graniastosłup prawidłowy trójkątny.

Niech $a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ oznacza długość krawędzi podstawy, a $b\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ długość krawędzi bocznej rozważanego graniastosłupa.

Mamy $6$ krawędzi podstaw o długości $a$ oraz $3$ krawędzie boczne o długości $b$, zatem otrzymujemy równanie $6a+3b=36$, co daje: $2a+b=12$.

Zatem mamy następujące możliwości długości krawędzi graniastosłupa spełniające warunki zadania:

$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=10\end{array}\right.$ lub $\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=8\end{array}\right.$ lub $\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=6\end{array}\right.$ lub $\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=4\end{array}\right.$ lub $\left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=2\end{array}\right.$

Możemy zatem zbudować pięć rodzajów graniastosłupa prawidłowego trójkątnego,  spełniającego warunki zadania.

Uwaga: Rozważanie kolejnych możliwości prowadzi do wniosku, że wraz ze wzrostem długości krawędzi podstawy długość krawędzi bocznej maleje (przy warunkach nałożonych w zadaniu).

Rozważmy granastosłup prawidłowy trójkątny.

Niech $a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ oznacza długość krawędzi podstawy, a $b\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ długość krawędzi bocznej rozważanego graniastosłupa.

Mamy $6$ krawędzi podstaw o długości $a$ oraz $3$ krawędzie boczne o długości $b$, otrzymujemy równanie $6a+3b=18$, co daje: $2a+b=6$.

Najmniejsza z możliwych długość krawędzi podstawy spełniająca warunki zadania to $a=1$. Otrzymujemy wówczas $2+b=6$, czyli: $b=4 \left[\mathrm{m}\right]$.

Zatem maksymalna długość krawędzi bocznej spełniająca warunki zadania wynosi $4\text{m}$.

a) Odcinki $DE$, $DF$, $EF$ łączące środki dwóch boków trójkąta są równoległe do trzeciego boku, a ich długości są równe połowie tego boku. Wynika stąd, że krawędzie podstawy nowo powstałego graniastosłupa trójkątnego są równe, bo trójkąty $ADF$, $DBE$, $FEC$, $A\text{'}D\text{'}F\text{'}$, $D\text{'}B\text{'}E\text{'}$, $F\text{'}E\text{'}C\text{'}$, są trójkątami równobocznymi o boku długości $\frac{1}{2}a$. Zatem nowo powstały graniastosłup jest graniastosłupem prawidłowym trójkątnym.

b) Długość krawędzi podstawy nowego graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $\frac{1}{2}a$, a suma długości wszystkich tych krawędzi wynosi $6·\frac{1}{2}a=3a$.