Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Proporcja ma postać: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ . Zapisz ją w postaci zależności wprost proporcjonalnej oraz odwrotnie proporcjonalnej.

Przykładowa odpowiedź: Proporcjonalność wprost: $a=\left(\frac{b}{d}\right)\cdot c$ , proporcjonalność odwrotna: $a=\frac{(b\cdot c)}{d}$

Komentarz: W nawiasach podane są wyrażenia określające współczynnik proporcjonalności.

Ćwiczenie 2

Jak długie musiałoby być ramię $r_{A}$ , aby Archimedes, stając na jego końcu, mógł zrównoważyć ciężar Ziemi w hipotetycznej przestrzeni, gdzie działa siła grawitacji, a Ziemia zawieszona jest na ramieniu o długości $r_{Z}$ = 1 km (ilustruje to rysunek we wstępie do naszego e‑materiału)? Czy byłaby to długość większa, niż odległość do Księżyca? Masa Ziemi $m_{Z}$ = 6 · 10Indeks górny 24 kg; masa Archimedesa $m_{A}$ = 100 kg.

Tak, długość ramienia byłaby większa – wynosiłaby ok. 6 · 10Indeks górny 22 km.

Rozwiązanie: W polu grawitacyjnym ciężar jest proporcjonalny do masy, więc możemy zapisać: $M_{Z}\cdot r_{Z}=m_{A}\cdot r_{A}$ . Wynika stąd, że: $r_{A}=\left(\frac{M_{Z}}{m_{A}}\right)\cdot r_{Z}$ . Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy: $r_{A}=\frac{6 \cdot 10^{24}}{1 \cdot 10^2}\cdot 1 \text{ km}=6 \cdot 10^{22} \text{ km}$ . Jest to długość nie tylko większa niż odległość z Ziemi do Księżyca (ok. 384 · 10Indeks górny 3 km), ale większa niż rozmiary naszej Galaktyki (ok. 10Indeks górny 17 km).

Wspólna treść do ćwiczeń 3‑6
Na prawidłowo zorganizowanym wykresie przedstawiono zależność pomiędzy dwiema wielkościami fizycznymi $x$ oraz $y$ . Na osiach wykresu nie umieszczono wprawdzie skali, ale wiadomo, że jest ona liniowa i że osie układu współrzędnych przecinają się w punkcie (0; 0). Podano jednostki obu wielkości. Odnieś się do tez przedstawionych w poszczególnych ćwiczeniach.

Mimo braku skali można określić…

R1eHJuPsNqz9X1

Ćwiczenie 3

c) dziedzinę, w jakiej przedstawiana jest zależność.

Prawda
Fałsz

R1C5fgrKt7Qfg1

Ćwiczenie 4

a) czy zależność jest rosnąca.

Prawda
Fałsz

R1DN9tRLG2kyE2

Ćwiczenie 5

R1QwF7kqdcpSA

Ćwiczenie 6

Mimo braku skali na osiach można odróżnić czy zależność jest nieliniowa, liniowa czy proporcjonalna. Zależność:
nieliniową da się rozpoznać po tym, że wykres 1. ma kształt linii prostej i przechodzi przez punkt (0; 0), 2. nie przechodzi przez punkt (0; 0), 3. ma kształt linii prostej prostopadłej do osi

x

, 4. przechodzi przez punkt (0; 0), 5. ma kształt trójkąta, okręgu, elipsy lub innej zamkniętej figury, 6. ma kształt linii prostej, 7. ma kształt linii krzywej;

liniową da się rozpoznać po tym, że wykres 1. ma kształt linii prostej i przechodzi przez punkt (0; 0), 2. nie przechodzi przez punkt (0; 0), 3. ma kształt linii prostej prostopadłej do osi

x

, 4. przechodzi przez punkt (0; 0), 5. ma kształt trójkąta, okręgu, elipsy lub innej zamkniętej figury, 6. ma kształt linii prostej, 7. ma kształt linii krzywej;

proporcjonalną da się rozpoznać po tym, że wykres 1. ma kształt linii prostej i przechodzi przez punkt (0; 0), 2. nie przechodzi przez punkt (0; 0), 3. ma kształt linii prostej prostopadłej do osi

x

, 4. przechodzi przez punkt (0; 0), 5. ma kształt trójkąta, okręgu, elipsy lub innej zamkniętej figury, 6. ma kształt linii prostej, 7. ma kształt linii krzywej.

R1Je1Iz86Uvo2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

RYB9C6GyxEa7U

Na rysunku jest układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono x, na osi pionowej y. W układzie współrzędnych narysowano 5 wykresów. Wykres numer 1 jest linią prostą, która zaczyna się na pionowej osi w punkcie poniżej punktu przecięcia osi. Linia skierowana jest w górę i w prawo. Wykres numer 2 jest wznoszącą się linią krzywą, która zaczyna się na pionowej osi w punkcie powyżej punktu przecięcia osi. Linia odchyla się w kierunku osi poziomej i staje się coraz mniej stroma. Wykres numer 3 jest wznoszącą się linią krzywą, która zaczyna się w punkcie przecięcia osi. Linia odchyla się w kierunku osi pionowej i staje się coraz bardziej stroma. Wykres numer 4 jest linią prostą, która zaczyna się na pionowej osi w punkcie powyżej punktu przecięcia osi. Linia skierowana jest w dół i w prawo. Wykres numer 5 jest linią prostą, która zaczyna się na pionowej osi w punkcie przecięcia osi. Linia skierowana jest w dół i w prawo. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R1DQhZoUmybne

Na wykresie pokazano przebieg pięciu funkcji. Wstaw znak ‘+’ przy odpowiednich właściwościach każdej z nich.

Właściwość zależności. / Numer funkcji.	1	2	3	4	5
a) Jest to zależność proporcjonalna o równaniu $y (x) = a \cdot x$ .
b) Jest to zależność liniowa o równaniu $y (x) = a \cdot x + b; b \neq 0$ .
c) Jest to zależność nieliniowa.
d) Jest to zależność rosnąca.
e) Jest to zależność o stałym nachyleniu.

Komentarze i uzasadnienia:

Funkcja 1.

a) Nie może tak być! Wykres funkcji nie przechodzi przez (0; 0), a jest to warunek niezbędny (choć niewystarczający), by zależność nazwać proporcjonalną.

b) To jest do zaznaczenia! Możesz rozpoznać, że wykres funkcji jest linią prostą, która nie przechodzi przez (0; 0). Oznacza to, że zależność jest liniowa.

c) Zależność nie może być nieliniowa! Widać wszak, że wykres funkcji jest linią prostą.

d) Należy to zaznaczyć! Można rzec, że wykres „celuje w prawo i w górę”, co oznacza, że w miarę wzrostu $x$ (kierunek w prawo) rośnie także $y$ (kierunek w górę). Zależność jest więc rosnąca; jej współczynnik kierunkowy $a$ jest dodatni. Nie ma tu znaczenia, że wyraz wolny $b$ jest ujemny.

e) To należy wskazać! Nachylenie funkcji liniowej jest równe współczynnikowi kierunkowemu tej funkcji, czyli wielkości $a$ w równaniu $y(x)=a\cdot x+b$ . Współczynnik ten jest stały, niezależny od $x$ , tak więc nachylenie funkcji liniowej jest stałe.

Funkcja 2.

a) Nie może tak być! Wykres funkcji nie jest linią prostą ani nie przechodzi przez punkt (0; 0), a zależność proporcjonalna musi spełniać te dwa warunki.

b) Nie może tak być! Wykres funkcji w ogóle nie jest linią prostą.

c) To jest do zaznaczenia! Widać wszak, że wykres funkcji nie jest linią prostą, więc zależność jest nieliniowa.

d) Należy to zaznaczyć! Widać, że w miarę wzrostu $x$ rośnie także $y$ . Zależność jest więc rosnąca. Nachylenie funkcji jest coraz mniejsze, w miarę wzrostu $x$ maleje jej nachylenie – staje się ona coraz mniej stroma. To prawda, ale to nie ma bezpośredniego związku z rosnącym charakterem funkcji.

e) Tak nie jest! Wykres funkcji nie jest linią prostą, jest to zależność nieliniowa, a tylko linia prosta może mieć stałe nachylenie, jednakowe dla każdej wartości $x$ .

Funkcja 3.

a) Nie może tak być! Wykres funkcji przechodzi wprawdzie przez (0; 0), ale nie jest linią prostą. Ten zaś warunek jest niezbędny (choć niewystarczający), by zależność nazwać proporcjonalną.

b) Nie może tak być! Wykres funkcji w ogóle nie jest linią prostą.

c) To jest do zaznaczenia! Widać wszak, że wykres funkcji nie jest linią prostą, więc zależność jest nieliniowa.

d) Należy to zaznaczyć! Widać, że w miarę wzrostu $x$ rośnie także $y$ . Zależność jest więc rosnąca. Nachylenie funkcji jest coraz większe, w miarę wzrostu $x$ rośnie jej nachylenie – staje się ona coraz bardziej stroma. Nie ma to jednak bezpośredniego związku z rosnącym charakterem funkcji.

e) Tak nie jest! Wykres funkcji nie jest linią prostą, jest to zależność nieliniowa, a tylko linia prosta może mieć stałe nachylenie, jednakowe dla każdej wartości $x$ .

Funkcja 4.

a) Nie może tak być! Wykres funkcji nie przechodzi przez (0; 0), a jest to warunek niezbędny (choć niewystarczający), by zależność nazwać proporcjonalną.

b) To jest do zaznaczenia! Możesz rozpoznać, że wykres funkcji jest linią prostą, która nie przechodzi przez (0; 0). Oznacza to, że zależność jest liniowa.

c) Zależność nie może być nieliniowa! Widać wszak, że wykres funkcji jest linią prostą.

d) Nie należy tego zaznaczyć! Można rzec, że wykres „celuje w prawo i w dół”, co oznacza, że w miarę wzrostu $x$ (kierunek w prawo) maleje $y$ (kierunek w dół). Zależność jest więc malejąca; jej współczynnik kierunkowy $a$ jest ujemny. Nie ma tu znaczenia, że wyraz wolny $b$ jest dodatni.

e) To należy wskazać! Nachylenie funkcji liniowej jest równe współczynnikowi kierunkowemu tej funkcji (wielkość $a$ w równaniu $y(x)=a\cdot x+b$ ). Współczynnik ten jest stały, niezależny od $x$ , tak więc nachylenie funkcji liniowej jest stałe. W tym przypadku nachylenie to jest ujemne.

Funkcja 5.

a) To jest do zaznaczenia! Wykres funkcji jest linią prostą i przechodzi przez (0; 0), a jest to wystarczający zestaw warunków, by zależność nazwać proporcjonalną.

b) Nie może tak być! Możesz rozpoznać, że wykres funkcji przechodzi przez (0; 0) i jest linią prostą. Oznacza to, że w zapisie $y(x)=a\cdot x+b$ , wyraz wolny $b$ jest równy 0.

c) Zależność nie może być nieliniowa! Widać wszak, że wykres funkcji jest linią prostą.

e) To należy wskazać! Nachylenie funkcji proporcjonalnej jest równe współczynnikowi proporcjonalności (wielkość $a$ w równaniu $y(x)=a\cdot x$ ). Współczynnik ten, analogiczny do współczynnika kierunkowego funkcji liniowej, jest stały (niezależny od $x$ ), tak więc nachylenie funkcji liniowej jest stałe. W tym przypadku nachylenie to jest ujemne.

Ćwiczenie 9

RzRavY2zwGO3T

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Ćwiczenie 10

R1CtzRhEKdAio

Ćwiczenie 11

Rpe27WwTV17xw

Rmev5mRqTOkmD

Z miasta A do odległego o 80 km miasta B, jechał samochód ze stałą prędkością

v_{s}

= 90 km/h. W tym samym czasie z miasta B do miasta A jechał motocykl ze stałą prędkością

v_{m}

= 70 km/h. Pojazdy minęły się w chwili

t_{z}

w odległości

d_{z}

od miasta B. Wyznacz

t_{z}

oraz

d_{z}

. Odpowiedź: Pojazdy miną się w odległości Tu uzupełnij km od miasta B po czasie

t_{z}

= Tu uzupełnij h, czyli Tu uzupełnij min.

Z miasta A do odległego o 80 km miasta B, jechał samochód ze stałą prędkością $v_{s}$ = 90 km/h. W tym samym czasie z miasta B do miasta A jechał motocykl ze stałą prędkością $v_{m}$ = 70 km/h. Pojazdy minęły się w chwili $t_{z}$ w odległości $d_{z}$ od miasta B. Wyznacz $t_{z}$ oraz $d_{z}$ .

Odpowiedź: Pojazdy miną się w odległości ............ km od miasta B po czasie $t_{z}$ = ............ h, czyli ............ min.

Rozwiązanie można odczytać wprost w wykresu numer 3 lub przeprowadzając poniższe obliczenia.

Po czasie $t_{z}$ suma dróg przebytych przez samochód i motocykl powinna być równa odległości pomiędzy miastami. Mamy więc równanie:

$v_s\cdot t_z+v_m\cdot t_z=80\text{ km}$

a stąd:

$t_{z}(v_{s}+v_{m})=80\text{ km}, \hspace{4mm}\textrm{czyli:} \hspace{4mm}t_{z}=\frac{80\text{ km}}{(v_{s}+v_{m})}$

Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy: $t_z=\frac{80\text{ km}}{(90+70)\text{ km/h}}=\frac{80\text{ km}}{160\text{ km/h}}=0,5\text{ h}$ , czyli 30 minut.

W tym czasie motocykl przejedzie $d_z=70\text{ km/h}\cdot0,5\text{ h}=35\text{ km}$ .

RtpN2bmsIoitd

Ćwiczenie 11

Film samouczek

Dla nauczyciela